Ensembles finis Exemples

$\frac{2 x - 5}{x} + \frac{4 x - 1}{x + 2} = - \frac{3 x + 8}{x^{2} + 2 x}$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 2 x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{2 x - 5}{x} + \frac{4 x - 1}{x + 2} = - \frac{3 x + 8}{x \cdot x + 2 x}$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 x - 5}{x} + \frac{4 x - 1}{x + 2} = - \frac{3 x + 8}{x \cdot x + x \cdot 2}$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{2 x - 5}{x} + \frac{4 x - 1}{x + 2} = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, x + 2, x (x + 2)$

Étape 2.2

Since $x, x + 2, x (x + 2)$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Les étapes pour déterminer le plus petit multiple commun pour $x, x + 2, x (x + 2)$ sont :

1. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ .

2. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}, x^{1}$ .

3. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable composée $x + 2, x + 2$ .

4. Multipliez tous les plus petits multiples communs entre eux.

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.6

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{1}, x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x$

Étape 2.8

Le facteur pour $x + 2$ est $x + 2$ lui-même.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.9

Le plus petit multiple commun de $x + 2, x + 2$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x + 2$

Étape 2.10

Le plus petit multiple commun $LCM$ de certains nombres est le plus petit nombre dont les nombres sont des facteurs.

$x (x + 2)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2 x - 5}{x} + \frac{4 x - 1}{x + 2} = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)}$ par $x (x + 2)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2 x - 5}{x} + \frac{4 x - 1}{x + 2} = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)}$ par $x (x + 2)$ .

$\frac{2 x - 5}{x} (x (x + 2)) + \frac{4 x - 1}{x + 2} (x (x + 2)) = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x - 5}{x} (x (x + 2)) + \frac{4 x - 1}{x + 2} (x (x + 2)) = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$(2 x - 5) (x + 2) + \frac{4 x - 1}{x + 2} (x (x + 2)) = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.2

Développez $(2 x - 5) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (x + 2) - 5 (x + 2) + \frac{4 x - 1}{x + 2} (x (x + 2)) = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 5 (x + 2) + \frac{4 x - 1}{x + 2} (x (x + 2)) = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 + \frac{4 x - 1}{x + 2} (x (x + 2)) = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 + \frac{4 x - 1}{x + 2} (x (x + 2)) = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 + \frac{4 x - 1}{x + 2} (x (x + 2)) = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x^{2} + 4 x - 5 x - 5 \cdot 2 + \frac{4 x - 1}{x + 2} (x (x + 2)) = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$2 x^{2} + 4 x - 5 x - 10 + \frac{4 x - 1}{x + 2} (x (x + 2)) = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $4 x$ .

$2 x^{2} - x - 10 + \frac{4 x - 1}{x + 2} (x (x + 2)) = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $x (x + 2)$ .

$2 x^{2} - x - 10 + \frac{4 x - 1}{x + 2} ((x + 2) x) = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} - x - 10 + \frac{4 x - 1}{x + 2} ((x + 2) x) = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - x - 10 + (4 x - 1) x = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} - x - 10 + 4 x \cdot x - 1 x = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.6.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{2} - x - 10 + 4 (x \cdot x) - 1 x = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - x - 10 + 4 x^{2} - 1 x = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.1.7

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 x^{2} - x - 10 + 4 x^{2} - x = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.2.1

Additionnez $2 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} - x - 10 - x = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$6 x^{2} - 2 x - 10 = - \frac{3 x + 8}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $x (x + 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 x + 8}{x (x + 2)}$ dans le numérateur.

$6 x^{2} - 2 x - 10 = \frac{- (3 x + 8)}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$6 x^{2} - 2 x - 10 = \frac{- (3 x + 8)}{x (x + 2)} (x (x + 2))$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$6 x^{2} - 2 x - 10 = - (3 x + 8)$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} - 2 x - 10 = - (3 x) - 1 \cdot 8$

Étape 3.3.3

Multipliez.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$6 x^{2} - 2 x - 10 = - 3 x - 1 \cdot 8$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$6 x^{2} - 2 x - 10 = - 3 x - 8$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} - 2 x - 10 + 3 x = - 8$

Étape 4.1.2

Additionnez $- 2 x$ et $3 x$ .

$6 x^{2} + x - 10 = - 8$

Étape 4.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x^{2} + x - 10 + 8 = 0$

Étape 4.3

Additionnez $- 10$ et $8$ .

$6 x^{2} + x - 2 = 0$

Étape 4.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot - 2 = - 12$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 4.4.1.1

Multipliez par $1$ .

$6 x^{2} + 1 x - 2 = 0$

Étape 4.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 3$ plus $4$

$6 x^{2} + (- 3 + 4) x - 2 = 0$

Étape 4.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{2} - 3 x + 4 x - 2 = 0$

Étape 4.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(6 x^{2} - 3 x) + 4 x - 2 = 0$

Étape 4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1) = 0$

Étape 4.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (3 x + 2) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$3 x + 2 = 0$

Étape 4.6

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 4.6.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 4.6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 4.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 4.7

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $3 x + 2$ égal à $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 4.7.2

Résolvez $3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.7.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 4.7.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 4.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 4.7.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 4.7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x - 1) (3 x + 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{2}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{1}{2}, - \frac{2}{3}$

Forme décimale :

$x = 0.5, - 0.\overline{6}$