Ensembles finis Exemples

$\sqrt{3 x + 6} = \sqrt{x + 6} + 2$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 x + 6}}^{2} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x + 6}$ comme ${(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 x + 6)}^{1} = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$3 x + 6 = {(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez ${(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$ comme $(\sqrt{x + 6} + 2) (\sqrt{x + 6} + 2)$ .

$3 x + 6 = (\sqrt{x + 6} + 2) (\sqrt{x + 6} + 2)$

Étape 2.3.1.2

Développez $(\sqrt{x + 6} + 2) (\sqrt{x + 6} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 6 = \sqrt{x + 6} (\sqrt{x + 6} + 2) + 2 (\sqrt{x + 6} + 2)$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 6 = \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 (\sqrt{x + 6} + 2)$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x + 6 = \sqrt{x + 6} \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $\sqrt{x + 6} \sqrt{x + 6}$ .

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Étape 2.3.1.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{x + 6}$ à la puissance $1$ .

$3 x + 6 = {\sqrt{x + 6}}^{1} \sqrt{x + 6} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{x + 6}$ à la puissance $1$ .

$3 x + 6 = {\sqrt{x + 6}}^{1} {\sqrt{x + 6}}^{1} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x + 6 = {\sqrt{x + 6}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 x + 6 = {\sqrt{x + 6}}^{2} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{x + 6}}^{2}$ comme $x + 6$ .

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Étape 2.3.1.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 6}$ comme ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x + 6 = {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + 6 = {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 x + 6 = {(x + 6)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 x + 6 = {(x + 6)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 x + 6 = {(x + 6)}^{1} + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3.1.2.5

Simplifiez

$3 x + 6 = x + 6 + \sqrt{x + 6} \cdot 2 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{x + 6}$ .

$3 x + 6 = x + 6 + 2 \cdot \sqrt{x + 6} + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \cdot 2$

Étape 2.3.1.3.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 x + 6 = x + 6 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \sqrt{x + 6} + 4$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $6$ et $4$ .

$3 x + 6 = x + 10 + 2 \sqrt{x + 6} + 2 \sqrt{x + 6}$

Étape 2.3.1.3.3

Additionnez $2 \sqrt{x + 6}$ et $2 \sqrt{x + 6}$ .

$3 x + 6 = x + 10 + 4 \sqrt{x + 6}$

Étape 3

Résolvez $4 \sqrt{x + 6}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x + 10 + 4 \sqrt{x + 6} = 3 x + 6$ .

$x + 10 + 4 \sqrt{x + 6} = 3 x + 6$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $4 \sqrt{x + 6}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$10 + 4 \sqrt{x + 6} = 3 x + 6 - x$

Étape 3.2.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$4 \sqrt{x + 6} = 3 x + 6 - x - 10$

Étape 3.2.3

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$4 \sqrt{x + 6} = 2 x + 6 - 10$

Étape 3.2.4

Soustrayez $10$ de $6$ .

$4 \sqrt{x + 6} = 2 x - 4$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(4 \sqrt{x + 6})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 6}$ comme ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(4 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(4 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4^{2} {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$16 {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$16 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 {(x + 6)}^{1} = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez

$16 (x + 6) = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$16 x + 16 \cdot 6 = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Multipliez $16$ par $6$ .

$16 x + 96 = {(2 x - 4)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(2 x - 4)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez ${(2 x - 4)}^{2}$ comme $(2 x - 4) (2 x - 4)$ .

$16 x + 96 = (2 x - 4) (2 x - 4)$

Étape 5.3.1.2

Développez $(2 x - 4) (2 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$16 x + 96 = 2 x (2 x - 4) - 4 (2 x - 4)$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$16 x + 96 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x - 4)$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$16 x + 96 = 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$16 x + 96 = 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 5.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$16 x + 96 = 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 5.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$16 x + 96 = 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 5.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} + 2 x \cdot - 4 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 5.3.1.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} - 8 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 4$

Étape 5.3.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} - 8 x - 8 x - 4 \cdot - 4$

Étape 5.3.1.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

Étape 5.3.1.3.2

Soustrayez $8 x$ de $- 8 x$ .

$16 x + 96 = 4 x^{2} - 16 x + 16$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 x^{2} - 16 x + 16 = 16 x + 96$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $16 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 16 x + 16 - 16 x = 96$

Étape 6.2.2

Soustrayez $16 x$ de $- 16 x$ .

$4 x^{2} - 32 x + 16 = 96$

Étape 6.3

Soustrayez $96$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 32 x + 16 - 96 = 0$

Étape 6.4

Soustrayez $96$ de $16$ .

$4 x^{2} - 32 x - 80 = 0$

Étape 6.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 32 x - 80$ .

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Étape 6.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 32 x - 80 = 0$

Étape 6.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 32 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 8 x) - 80 = 0$

Étape 6.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 80$ .

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot - 20 = 0$

Étape 6.5.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} + 4 (- 8 x)$ .

$4 (x^{2} - 8 x) + 4 \cdot - 20 = 0$

Étape 6.5.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2} - 8 x) + 4 \cdot - 20$ .

$4 (x^{2} - 8 x - 20) = 0$

Étape 6.5.2

Factorisez.

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $x^{2} - 8 x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.5.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 10, 2$

Étape 6.5.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$4 ((x - 10) (x + 2)) = 0$

Étape 6.5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 10) (x + 2) = 0$

Étape 6.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 6.7

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.7.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 6.7.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 6.8

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.8.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 6.8.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 6.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 10) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 10, - 2$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{3 x + 6} = \sqrt{x + 6} + 2$ vrai.

$x = 10$