Ensembles finis Exemples

$\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{9 + 4 x} = - 2$

Étape 1

Ajoutez $\sqrt{9 + 4 x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 x + 1} = - 2 + \sqrt{9 + 4 x}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 x + 1}}^{2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x + 1}$ comme ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 x + 1)}^{1} = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$2 x + 1 = {(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(- 2 + \sqrt{9 + 4 x})}^{2}$ comme $(- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$ .

$2 x + 1 = (- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 1 = - 2 (- 2 + \sqrt{9 + 4 x}) + \sqrt{9 + 4 x} (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 1 = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} (- 2 + \sqrt{9 + 4 x})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 1 = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \cdot - 2 + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \cdot - 2 + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

Étape 3.3.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt{9 + 4 x}$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \cdot \sqrt{9 + 4 x} + \sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $\sqrt{9 + 4 x} \sqrt{9 + 4 x}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.3.1

Élevez $\sqrt{9 + 4 x}$ à la puissance $1$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1} \sqrt{9 + 4 x}$

Étape 3.3.1.3.1.3.2

Élevez $\sqrt{9 + 4 x}$ à la puissance $1$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1} {\sqrt{9 + 4 x}}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{1 + 1}$

Étape 3.3.1.3.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {\sqrt{9 + 4 x}}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4

Réécrivez ${\sqrt{9 + 4 x}}^{2}$ comme $9 + 4 x$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 + 4 x}$ comme ${(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{\frac{2}{2}}$

Étape 3.3.1.3.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + {(9 + 4 x)}^{1}$

Étape 3.3.1.3.1.4.5

Simplifiez

$2 x + 1 = 4 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + 9 + 4 x$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $4$ et $9$ .

$2 x + 1 = 13 - 2 \sqrt{9 + 4 x} - 2 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x$

Étape 3.3.1.3.3

Soustrayez $2 \sqrt{9 + 4 x}$ de $- 2 \sqrt{9 + 4 x}$ .

$2 x + 1 = 13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x$

Étape 4

Résolvez $- 4 \sqrt{9 + 4 x}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1$ .

$13 - 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $- 4 \sqrt{9 + 4 x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} + 4 x = 2 x + 1 - 13$

Étape 4.2.2

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = 2 x + 1 - 13 - 4 x$

Étape 4.2.3

Soustrayez $4 x$ de $2 x$ .

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = - 2 x + 1 - 13$

Étape 4.2.4

Soustrayez $13$ de $1$ .

$- 4 \sqrt{9 + 4 x} = - 2 x - 12$

Étape 5

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 4 \sqrt{9 + 4 x})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Étape 6

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 + 4 x}$ comme ${(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Simplifiez ${(- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 4 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 4)}^{2} {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$16 {({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$16 {(9 + 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$16 {(9 + 4 x)}^{1} = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

$16 (9 + 4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$16 \cdot 9 + 16 (4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.6

Multipliez.

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Étape 6.2.1.6.1

Multipliez $16$ par $9$ .

$144 + 16 (4 x) = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Étape 6.2.1.6.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$144 + 64 x = {(- 2 x - 12)}^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez ${(- 2 x - 12)}^{2}$ .

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Étape 6.3.1.1

Réécrivez ${(- 2 x - 12)}^{2}$ comme $(- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$ .

$144 + 64 x = (- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$

Étape 6.3.1.2

Développez $(- 2 x - 12) (- 2 x - 12)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x - 12) - 12 (- 2 x - 12)$

Étape 6.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x - 12)$

Étape 6.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$144 + 64 x = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$144 + 64 x = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 12 - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.4

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x - 12 (- 2 x) - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 12$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x + 24 x - 12 \cdot - 12$

Étape 6.3.1.3.1.6

Multipliez $- 12$ par $- 12$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 24 x + 24 x + 144$

Étape 6.3.1.3.2

Additionnez $24 x$ et $24 x$ .

$144 + 64 x = 4 x^{2} + 48 x + 144$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$4 x^{2} + 48 x + 144 = 144 + 64 x$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $64 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 48 x + 144 - 64 x = 144$

Étape 7.2.2

Soustrayez $64 x$ de $48 x$ .

$4 x^{2} - 16 x + 144 = 144$

Étape 7.3

Soustrayez $144$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 16 x + 144 - 144 = 0$

Étape 7.4

Associez les termes opposés dans $4 x^{2} - 16 x + 144 - 144$ .

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Étape 7.4.1

Soustrayez $144$ de $144$ .

$4 x^{2} - 16 x + 0 = 0$

Étape 7.4.2

Additionnez $4 x^{2} - 16 x$ et $0$ .

$4 x^{2} - 16 x = 0$

Étape 7.5

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{2} - 16 x$ .

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Étape 7.5.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$4 x (x) - 16 x = 0$

Étape 7.5.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 16 x$ .

$4 x (x) + 4 x (- 4) = 0$

Étape 7.5.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x - 4) = 0$

Étape 7.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 7.7

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 7.8

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.8.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 7.8.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 7.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$