Ensembles finis Exemples

$z (2 - 3 i) = z (3 - 2 i) + 3 - 2 i$

Étape 1

Simplifiez $z (2 - 3 i)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + z (2 - 3 i) = z (3 - 2 i) + 3 - 2 i$

Étape 1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$z (2 - 3 i) = z (3 - 2 i) + 3 - 2 i$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$z \cdot 2 + z (- 3 i) = z (3 - 2 i) + 3 - 2 i$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $z$ .

$2 \cdot z + z (- 3 i) = z (3 - 2 i) + 3 - 2 i$

Étape 1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 z + z (- 3 i)$ .

$2 z - 3 z i = z (3 - 2 i) + 3 - 2 i$

Étape 2

Simplifiez $z (3 - 2 i) + 3 - 2 i$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 z - 3 z i = z \cdot 3 + z (- 2 i) + 3 - 2 i$

Étape 2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $z$ .

$2 z - 3 z i = 3 z + z (- 2 i) + 3 - 2 i$

Étape 2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3 z + z (- 2 i) + 3 - 2 i$ .

$2 z - 3 z i = 3 z - 2 z i + 3 - 2 i$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $z$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Soustrayez $3 z$ des deux côtés de l’équation.

$2 z - 3 z i - 3 z = - 2 z i + 3 - 2 i$

Étape 3.2

Ajoutez $2 z i$ aux deux côtés de l’équation.

$2 z - 3 z i - 3 z + 2 z i = 3 - 2 i$

Étape 3.3

Soustrayez $3 z$ de $2 z$ .

$- 3 z i - z + 2 z i = 3 - 2 i$

Étape 3.4

Additionnez $- 3 z i$ et $2 z i$ .

$- z i - z = 3 - 2 i$

Étape 4

Factorisez $- z$ à partir de $- z i - z$ .

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Étape 4.1

Factorisez $- z$ à partir de $- z$ .

$- z i - z \cdot 1 = 3 - 2 i$

Étape 4.2

Factorisez $- z$ à partir de $- z (i) - z (1)$ .

$- z (i + 1) = 3 - 2 i$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- z (i + 1) = 3 - 2 i$ par $- i - 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- z (i + 1) = 3 - 2 i$ par $- i - 1$ .

$\frac{- z (i + 1)}{- i - 1} = \frac{3}{- i - 1} + \frac{- 2 i}{- i - 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun à $i + 1$ et $- i - 1$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $i$ .

$\frac{- z (- 1 (- i) + 1)}{- i - 1} = \frac{3}{- i - 1} + \frac{- 2 i}{- i - 1}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- z (- 1 (- i) - 1 (- 1))}{- i - 1} = \frac{3}{- i - 1} + \frac{- 2 i}{- i - 1}$

Étape 5.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- i) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- z (- 1 (- i - 1))}{- i - 1} = \frac{3}{- i - 1} + \frac{- 2 i}{- i - 1}$

Étape 5.2.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- z (- 1 (- i - 1))}{- i - 1} = \frac{3}{- i - 1} + \frac{- 2 i}{- i - 1}$

Étape 5.2.1.5

Divisez $- z \cdot (- 1)$ par $1$ .

$- z \cdot (- 1) = \frac{3}{- i - 1} + \frac{- 2 i}{- i - 1}$

Étape 5.2.2

Multipliez $- z (- 1)$ .

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 z = \frac{3}{- i - 1} + \frac{- 2 i}{- i - 1}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $z$ par $1$ .

$z = \frac{3}{- i - 1} + \frac{- 2 i}{- i - 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$z = \frac{3 - 2 i}{- i - 1}$

Étape 5.3.2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{3 - 2 i}{- 1 - i}$ par le conjugué de $- 1 - i$ pour rendre le dénominateur réel.

$z = \frac{3 - 2 i}{- 1 - i} \cdot \frac{- 1 + i}{- 1 + i}$

Étape 5.3.3

Multipliez.

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Étape 5.3.3.1

Associez.

$z = \frac{(3 - 2 i) (- 1 + i)}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Développez $(3 - 2 i) (- 1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$z = \frac{3 (- 1 + i) - 2 i (- 1 + i)}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$z = \frac{3 \cdot - 1 + 3 i - 2 i (- 1 + i)}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$z = \frac{3 \cdot - 1 + 3 i - 2 i \cdot - 1 - 2 i i}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$z = \frac{- 3 + 3 i - 2 i \cdot - 1 - 2 i i}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$z = \frac{- 3 + 3 i + 2 i - 2 i i}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.3

Multipliez $- 2 i i$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$z = \frac{- 3 + 3 i + 2 i - 2 (i^{1} i)}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$z = \frac{- 3 + 3 i + 2 i - 2 (i^{1} i^{1})}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z = \frac{- 3 + 3 i + 2 i - 2 i^{1 + 1}}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$z = \frac{- 3 + 3 i + 2 i - 2 i^{2}}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z = \frac{- 3 + 3 i + 2 i - 2 \cdot - 1}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$z = \frac{- 3 + 3 i + 2 i + 2}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Additionnez $- 3$ et $2$ .

$z = \frac{- 1 + 3 i + 2 i}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.2.2.3

Additionnez $3 i$ et $2 i$ .

$z = \frac{- 1 + 5 i}{(- 1 - i) (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.3.1

Développez $(- 1 - i) (- 1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$z = \frac{- 1 + 5 i}{- 1 (- 1 + i) - i (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$z = \frac{- 1 + 5 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 i - i (- 1 + i)}$

Étape 5.3.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$z = \frac{- 1 + 5 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 i - i \cdot - 1 - i i}$

Étape 5.3.3.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$z = \frac{- 1 + 5 i}{1 - 1 i - i \cdot - 1 - i i}$

Étape 5.3.3.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$z = \frac{- 1 + 5 i}{1 - 1 i + 1 i - i i}$

Étape 5.3.3.3.2.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$z = \frac{- 1 + 5 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)}$

Étape 5.3.3.3.2.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$z = \frac{- 1 + 5 i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 5.3.3.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z = \frac{- 1 + 5 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}}$

Étape 5.3.3.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$z = \frac{- 1 + 5 i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}}$

Étape 5.3.3.3.2.7

Additionnez $- 1 i$ et $1 i$ .

$z = \frac{- 1 + 5 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 5.3.3.3.2.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$z = \frac{- 1 + 5 i}{1 - i^{2}}$

Étape 5.3.3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z = \frac{- 1 + 5 i}{1 - - 1}$

Étape 5.3.3.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$z = \frac{- 1 + 5 i}{1 + 1}$

Étape 5.3.3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$z = \frac{- 1 + 5 i}{2}$

Étape 5.3.4

Divisez la fraction $\frac{- 1 + 5 i}{2}$ en deux fractions.

$z = \frac{- 1}{2} + \frac{5 i}{2}$

Étape 5.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$z = - \frac{1}{2} + \frac{5 i}{2}$