Ensembles finis Exemples

$2 z^{\frac{13}{5}} - 14 z^{\frac{8}{5}} + 12 z^{\frac{3}{5}} = 0$

Étape 1

Déterminez un facteur commun $z^{\frac{3}{5}}$ présent dans chaque terme.

$2 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{13}{3}} - 14 {(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{8}{3}} + 12 z^{\frac{3}{5}}$

Étape 2

Remplacez $z^{\frac{3}{5}}$ par $u$ .

$2 {(u)}^{\frac{13}{3}} - 14 {(u)}^{\frac{8}{3}} + 12 (u) = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Factorisez $2 u$ à partir de $2 u^{\frac{13}{3}} - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $2 u$ à partir de $2 u^{\frac{13}{3}}$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) - 14 u^{\frac{8}{3}} + 12 u = 0$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $2 u$ à partir de $- 14 u^{\frac{8}{3}}$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 12 u = 0$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $2 u$ à partir de $12 u$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

Étape 3.1.1.4

Factorisez $2 u$ à partir de $2 u (u^{\frac{10}{3}}) + 2 u (- 7 u^{\frac{5}{3}})$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6) = 0$

Étape 3.1.1.5

Factorisez $2 u$ à partir de $2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}}) + 2 u (6)$ .

$2 u (u^{\frac{10}{3}} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $u^{\frac{10}{3}}$ comme ${(u^{\frac{5}{3}})}^{2}$ .

$2 u ({(u^{\frac{5}{3}})}^{2} - 7 u^{\frac{5}{3}} + 6) = 0$

Étape 3.1.3

Laissez $u = u^{\frac{5}{3}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $u^{\frac{5}{3}}$ par $u$ .

$2 u (u^{2} - 7 u + 6) = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez $u^{2} - 7 u + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 6, - 1$

Étape 3.1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 u ((u - 6) (u - 1)) = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez.

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Étape 3.1.5.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $u^{\frac{5}{3}}$ .

$2 u ((u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1)) = 0$

Étape 3.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

Étape 3.3

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 3.4

Définissez $u^{\frac{5}{3}} - 6$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $u^{\frac{5}{3}} - 6$ égal à $0$ .

$u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $u^{\frac{5}{3}} - 6 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{\frac{5}{3}} = 6$

Étape 3.4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{5}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.4.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 6^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.4.2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.4.2.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.4.2.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$u^{1} = 6^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Simplifiez

$u = 6^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.5

Définissez $u^{\frac{5}{3}} - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $u^{\frac{5}{3}} - 1$ égal à $0$ .

$u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $u^{\frac{5}{3}} - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{\frac{5}{3}} = 1$

Étape 3.5.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{5}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Simplifiez ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.5.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}} = 1^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.5.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.5.2.3.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.5.2.3.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$u^{1} = 1^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.5.2.3.1.1.2

Simplifiez

$u = 1^{\frac{3}{5}}$

Étape 3.5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$u = 1$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 u (u^{\frac{5}{3}} - 6) (u^{\frac{5}{3}} - 1) = 0$ vraie.

$u = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

Étape 4

Remplacez $u$ par $z$ .

$z^{\frac{3}{5}} = 0, 6^{\frac{3}{5}}, 1$

Étape 5

Résolvez $z^{\frac{3}{5}} = 0$ pour $z$ .

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Étape 5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 5.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 5.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 5.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$z^{1} = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez

$z = 0^{\frac{5}{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $0^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$z = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$z = 0^{3 (\frac{5}{3})}$

Étape 5.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$z = 0^{5}$

Étape 5.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$z = 0$

Étape 6

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$z = 6$

Étape 7

Résolvez $z^{\frac{3}{5}} = 1$ pour $z$ .

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Étape 7.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Simplifiez ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(z^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 7.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$z^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = 1^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$z^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 1^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$z^{1} = 1^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.1.1.2

Simplifiez

$z = 1^{\frac{5}{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$z = 1$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$z = 0, 6, 1$