Ensembles finis Exemples

$z^{2} - 2 i z + 1 = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2 i$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $z$ .

$\frac{2 i \pm \sqrt{{(- 2 i)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} i^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{4 i^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{4 \cdot - 1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Soustrayez $4$ de $- 4$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.9

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.10

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.1.10.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$z = \frac{2 i \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$z = \frac{2 i \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.12

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$z = \frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$z = \frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{2 i \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$z = i \pm i \sqrt{2}$

Étape 4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$z = i + i \sqrt{2}, i - i \sqrt{2}$