Ensembles finis Exemples

$| 1 + i z | = | 1 - i z |$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $| 1 - i z | = | 1 + i z |$ .

$| 1 - i z | = | 1 + i z |$

Étape 2

Réécrivez l’équation de la valeur absolue sous la forme de quatre équations sans barre de valeur absolue.

$1 - i z = 1 + i z$

$1 - i z = - (1 + i z)$

$- (1 - i z) = 1 + i z$

$- (1 - i z) = - (1 + i z)$

Étape 3

Après la simplification, il n’y a que deux équations uniques à résoudre.

$1 - i z = 1 + i z$

$1 - i z = - (1 + i z)$

Étape 4

Résolvez $1 - i z = 1 + i z$ pour $z$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $z$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $i z$ des deux côtés de l’équation.

$1 - i z - i z = 1$

Étape 4.1.2

Soustrayez $i z$ de $- i z$ .

$1 - 2 i z = 1$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 i z = 1 - 1$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- 2 i z = 0$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $- 2 i z = 0$ par $- 2 i$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 i z = 0$ par $- 2 i$ .

$\frac{- 2 i z}{- 2 i} = \frac{0}{- 2 i}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 i z}{- 2 i} = \frac{0}{- 2 i}$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{i z}{i} = \frac{0}{- 2 i}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $i$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{i z}{i} = \frac{0}{- 2 i}$

Étape 4.3.2.2.2

Divisez $z$ par $1$ .

$z = \frac{0}{- 2 i}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $- 2$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$z = \frac{2 (0)}{- 2 i}$

Étape 4.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i$ .

$z = \frac{2 (0)}{2 (- i)}$

Étape 4.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{2 \cdot 0}{2 (- i)}$

Étape 4.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{0}{- i}$

Étape 4.3.3.2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{0}{- i}$ par le conjugué de $- i$ pour rendre le dénominateur réel.

$z = \frac{0}{- i} \cdot \frac{i}{i}$

Étape 4.3.3.3

Multipliez.

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Étape 4.3.3.3.1

Associez.

$z = \frac{0 i}{- i i}$

Étape 4.3.3.3.2

Multipliez $0$ par $i$ .

$z = \frac{0}{- i i}$

Étape 4.3.3.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.3.3.3.1

Ajoutez des parenthèses.

$z = \frac{0}{- (i i)}$

Étape 4.3.3.3.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$z = \frac{0}{- (i^{1} i)}$

Étape 4.3.3.3.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$z = \frac{0}{- (i^{1} i^{1})}$

Étape 4.3.3.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z = \frac{0}{- i^{1 + 1}}$

Étape 4.3.3.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$z = \frac{0}{- i^{2}}$

Étape 4.3.3.3.3.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$z = \frac{0}{- - 1}$

Étape 4.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$z = \frac{0}{1}$

Étape 4.3.3.5

Divisez $0$ par $1$ .

$z = 0$

Étape 5

Résolvez $1 - i z = - (1 + i z)$ pour $z$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $- (1 + i z)$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$1 - i z = 0 + 0 - (1 + i z)$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$1 - i z = - (1 + i z)$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 - i z = - 1 \cdot 1 - (i z)$

Étape 5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - i z = - 1 - i z$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $z$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $i z$ aux deux côtés de l’équation.

$1 - i z + i z = - 1$

Étape 5.2.2

Associez les termes opposés dans $1 - i z + i z$ .

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- i z$ et $i z$ .

$1 + 0 = - 1$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 = - 1$

Étape 5.3

Comme $1 \neq - 1$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 6

Indiquez toutes les solutions.

$z = 0$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $| 1 + i z | = | 1 - i z |$ vrai.

$Aucune solution$