Ensembles finis Exemples

${(a - 2 b)}^{7}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(a - 2 b)}^{7}$ , $n = 7$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $8$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$ .

$1 a^{7} b^{0} + 7 a^{6} b + 21 a^{5} b^{2} + 35 a^{4} b^{3} + 35 a^{3} b^{4} + 21 a^{2} b^{5} + 7 a b^{6} + 1 a^{0} b^{7}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $a$ et $b$ $- 2 b$ dans l’expression.

$1 {(a)}^{7} {(- 2 b)}^{0} + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(a)}^{7}$ par $1$ .

${(a)}^{7} {(- 2 b)}^{0} + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $- 2 b$ .

$a^{7} ({(- 2)}^{0} b^{0}) + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(- 2)}^{0} a^{7} b^{0} + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 a^{7} b^{0} + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.5

Multipliez $a^{7}$ par $1$ .

$a^{7} b^{0} + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{7} \cdot 1 + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.7

Multipliez $a^{7}$ par $1$ .

$a^{7} + 7 {(a)}^{6} {(- 2 b)}^{1} + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.8

Simplifiez

$a^{7} + 7 a^{6} (- 2 b) + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{7} + 7 \cdot - 2 a^{6} b + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.10

Multipliez $7$ par $- 2$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 21 {(a)}^{5} {(- 2 b)}^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $- 2 b$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 21 a^{5} ({(- 2)}^{2} b^{2}) + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{7} - 14 a^{6} b + 21 \cdot {(- 2)}^{2} a^{5} b^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.13

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 21 \cdot 4 a^{5} b^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.14

Multipliez $21$ par $4$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} + 35 {(a)}^{4} {(- 2 b)}^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.15

Appliquez la règle de produit à $- 2 b$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} + 35 a^{4} ({(- 2)}^{3} b^{3}) + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.16

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} + 35 \cdot {(- 2)}^{3} a^{4} b^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.17

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} + 35 \cdot - 8 a^{4} b^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.18

Multipliez $35$ par $- 8$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 35 {(a)}^{3} {(- 2 b)}^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.19

Appliquez la règle de produit à $- 2 b$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 35 a^{3} ({(- 2)}^{4} b^{4}) + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.20

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 35 \cdot {(- 2)}^{4} a^{3} b^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.21

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 35 \cdot 16 a^{3} b^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.22

Multipliez $35$ par $16$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} + 21 {(a)}^{2} {(- 2 b)}^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.23

Appliquez la règle de produit à $- 2 b$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} + 21 a^{2} ({(- 2)}^{5} b^{5}) + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.24

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} + 21 \cdot {(- 2)}^{5} a^{2} b^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.25

Élevez $- 2$ à la puissance $5$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} + 21 \cdot - 32 a^{2} b^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.26

Multipliez $21$ par $- 32$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 7 {(a)}^{1} {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.27

Simplifiez

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 7 a {(- 2 b)}^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.28

Appliquez la règle de produit à $- 2 b$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 7 a ({(- 2)}^{6} b^{6}) + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.29

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 7 \cdot {(- 2)}^{6} a b^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.30

Élevez $- 2$ à la puissance $6$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 7 \cdot 64 a b^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.31

Multipliez $7$ par $64$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 448 a b^{6} + 1 {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.32

Multipliez ${(a)}^{0}$ par $1$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 448 a b^{6} + {(a)}^{0} {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.33

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 448 a b^{6} + 1 {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.34

Multipliez ${(- 2 b)}^{7}$ par $1$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 448 a b^{6} + {(- 2 b)}^{7}$

Étape 4.35

Appliquez la règle de produit à $- 2 b$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 448 a b^{6} + {(- 2)}^{7} b^{7}$

Étape 4.36

Élevez $- 2$ à la puissance $7$ .

$a^{7} - 14 a^{6} b + 84 a^{5} b^{2} - 280 a^{4} b^{3} + 560 a^{3} b^{4} - 672 a^{2} b^{5} + 448 a b^{6} - 128 b^{7}$