Ensembles finis Exemples

$a (n) = (\frac{7 \sqrt{n}}{1 + 3 \sqrt{n}})$

Étape 1

Comme le radical est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\frac{7 \sqrt{n}}{1 + 3 \sqrt{n}} = a n$

Étape 2

Réalisez le produit en croix.

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Étape 2.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$a n \cdot (1 + 3 \sqrt{n}) = 7 \sqrt{n}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $a n \cdot (1 + 3 \sqrt{n})$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a n \cdot 1 + a n (3 \sqrt{n}) = 7 \sqrt{n}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez $a$ par $1$ .

$a n + a n (3 \sqrt{n}) = 7 \sqrt{n}$

Étape 2.2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a n + 3 a n \sqrt{n} = 7 \sqrt{n}$

Étape 3

Résolvez $\sqrt{n}$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $7 \sqrt{n}$ des deux côtés de l’équation.

$a n + 3 a n \sqrt{n} - 7 \sqrt{n} = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $a n$ des deux côtés de l’équation.

$3 a n \sqrt{n} - 7 \sqrt{n} = - a n$

Étape 3.3

Factorisez $\sqrt{n}$ à partir de $3 a n \sqrt{n} - 7 \sqrt{n}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $\sqrt{n}$ à partir de $3 a n \sqrt{n}$ .

$\sqrt{n} (3 a n) - 7 \sqrt{n} = - a n$

Étape 3.3.2

Factorisez $\sqrt{n}$ à partir de $- 7 \sqrt{n}$ .

$\sqrt{n} (3 a n) + \sqrt{n} \cdot - 7 = - a n$

Étape 3.3.3

Factorisez $\sqrt{n}$ à partir de $\sqrt{n} (3 a n) + \sqrt{n} \cdot - 7$ .

$\sqrt{n} (3 a n - 7) = - a n$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $\sqrt{n} (3 a n - 7) = - a n$ par $3 a n - 7$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{n} (3 a n - 7) = - a n$ par $3 a n - 7$ .

$\frac{\sqrt{n} (3 a n - 7)}{3 a n - 7} = \frac{- a n}{3 a n - 7}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 a n - 7$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{n} (3 a n - 7)}{3 a n - 7} = \frac{- a n}{3 a n - 7}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $\sqrt{n}$ par $1$ .

$\sqrt{n} = \frac{- a n}{3 a n - 7}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{n} = - \frac{a n}{3 a n - 7}$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{n}}^{2} = {(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{n}$ comme $n^{\frac{1}{2}}$ .

${(n^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez ${(n^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(n^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$n^{1} = {(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Simplifiez

$n = {(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${(- \frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{a n}{3 a n - 7}$ .

$n = {(- 1)}^{2} {(\frac{a n}{3 a n - 7})}^{2}$

Étape 5.3.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{a n}{3 a n - 7}$ .

$n = {(- 1)}^{2} \frac{{(a n)}^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$

Étape 5.3.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $a n$ .

$n = {(- 1)}^{2} \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$n = 1 \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $\frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$ par $1$ .

$n = \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$

Étape 6

Résolvez $n$ .

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Étape 6.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, {(3 a n - 7)}^{2}$

Étape 6.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

${(3 a n - 7)}^{2}$

Étape 6.2

Multiplier chaque terme dans $n = \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$ par ${(3 a n - 7)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.2.1

Multipliez chaque terme dans $n = \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}}$ par ${(3 a n - 7)}^{2}$ .

$n {(3 a n - 7)}^{2} = \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}} {(3 a n - 7)}^{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${(3 a n - 7)}^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$n {(3 a n - 7)}^{2} = \frac{a^{2} n^{2}}{{(3 a n - 7)}^{2}} {(3 a n - 7)}^{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$n {(3 a n - 7)}^{2} = a^{2} n^{2}$

Étape 6.3

Résolvez l’équation.

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Étape 6.3.1

Déplacez tous les termes contenant $n$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.3.1.1

Soustrayez $a^{2} n^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$n {(3 a n - 7)}^{2} - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.2.1

Réécrivez ${(3 a n - 7)}^{2}$ comme $(3 a n - 7) (3 a n - 7)$ .

$n ((3 a n - 7) (3 a n - 7)) - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.2

Développez $(3 a n - 7) (3 a n - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$n (3 a n (3 a n - 7) - 7 (3 a n - 7)) - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$n (3 a n (3 a n) + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n - 7)) - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$n (3 a n (3 a n) + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.2.3.1.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.2.3.1.1.1

Déplacez $a$ .

$n (3 (a \cdot a) n (3 n) + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.3.1.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$n (3 a^{2} n (3 n) + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.3.1.2

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.2.3.1.2.1

Déplacez $n$ .

$n (3 a^{2} (n \cdot n) \cdot 3 + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.3.1.2.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$n (3 a^{2} n^{2} \cdot 3 + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$n (9 a^{2} n^{2} + 3 a n \cdot - 7 - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.3.1.4

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$n (9 a^{2} n^{2} - 21 a n - 7 (3 a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 7$ .

$n (9 a^{2} n^{2} - 21 a n - 21 (a n) - 7 \cdot - 7) - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.3.1.6

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$n (9 a^{2} n^{2} - 21 a n - 21 a n + 49) - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.3.2

Soustrayez $21 a n$ de $- 21 a n$ .

$n (9 a^{2} n^{2} - 42 a n + 49) - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$n (9 a^{2} n^{2}) + n (- 42 a n) + n \cdot 49 - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.5

Simplifiez

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Étape 6.3.1.2.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 n (a^{2} n^{2}) + n (- 42 a n) + n \cdot 49 - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 n (a^{2} n^{2}) - 42 n (a n) + n \cdot 49 - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.5.3

Déplacez $49$ à gauche de $n$ .

$9 n (a^{2} n^{2}) - 42 n (a n) + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.2.6.1

Multipliez $n$ par $n^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.2.6.1.1

Déplacez $n^{2}$ .

$9 (n^{2} n) a^{2} - 42 n (a n) + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.6.1.2

Multipliez $n^{2}$ par $n$ .

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Étape 6.3.1.2.6.1.2.1

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$9 (n^{2} n^{1}) a^{2} - 42 n (a n) + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 n^{2 + 1} a^{2} - 42 n (a n) + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.6.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$9 n^{3} a^{2} - 42 n (a n) + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.6.2

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.2.6.2.1

Déplacez $n$ .

$9 n^{3} a^{2} - 42 (n \cdot n) a + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.1.2.6.2.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$9 n^{3} a^{2} - 42 n^{2} a + 49 \cdot n - a^{2} n^{2} = 0$

$9 n^{3} a^{2} - 42 n^{2} a + 49 n - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $n$ à partir de $9 n^{3} a^{2} - 42 n^{2} a + 49 n - a^{2} n^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $n$ à partir de $9 n^{3} a^{2}$ .

$n (9 n^{2} a^{2}) - 42 n^{2} a + 49 n - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.2.2

Factorisez $n$ à partir de $- 42 n^{2} a$ .

$n (9 n^{2} a^{2}) + n (- 42 n a) + 49 n - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.2.3

Factorisez $n$ à partir de $49 n$ .

$n (9 n^{2} a^{2}) + n (- 42 n a) + n \cdot 49 - a^{2} n^{2} = 0$

Étape 6.3.2.4

Factorisez $n$ à partir de $- a^{2} n^{2}$ .

$n (9 n^{2} a^{2}) + n (- 42 n a) + n \cdot 49 + n (- a^{2} n) = 0$

Étape 6.3.2.5

Factorisez $n$ à partir de $n (9 n^{2} a^{2}) + n (- 42 n a)$ .

$n (9 n^{2} a^{2} - 42 n a) + n \cdot 49 + n (- a^{2} n) = 0$

Étape 6.3.2.6

Factorisez $n$ à partir de $n (9 n^{2} a^{2} - 42 n a) + n \cdot 49$ .

$n (9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49) + n (- a^{2} n) = 0$

Étape 6.3.2.7

Factorisez $n$ à partir de $n (9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49) + n (- a^{2} n)$ .

$n (9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n) = 0$

Étape 6.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$n = 0$

$9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n = 0$

Étape 6.3.4

Définissez $n$ égal à $0$ .

$n = 0$

Étape 6.3.5

Définissez $9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n$ égal à $0$ et résolvez $n$ .

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Étape 6.3.5.1

Définissez $9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n$ égal à $0$ .

$9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n = 0$

Étape 6.3.5.2

Résolvez $9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n = 0$ pour $n$ .

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Étape 6.3.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.3.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 9 a^{2}$ , $b = - 42 a - a^{2}$ et $c = 49$ dans la formule quadratique et résolvez pour $n$ .

$\frac{- (- 42 a - a^{2}) \pm \sqrt{{(- 42 a - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (9 a^{2} \cdot 49)}}{2 (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3

Simplifiez

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Étape 6.3.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.5.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$n = \frac{- (- 42 a) + a^{2} \pm \sqrt{{(- 42 a - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (9 a^{2}) \cdot 49}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.2

Multipliez $- 42$ par $- 1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{{(- 42 a - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (9 a^{2}) \cdot 49}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.3

Multipliez $- - a^{2}$ .

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Étape 6.3.5.2.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$n = \frac{42 a + 1 a^{2} \pm \sqrt{{(- 42 a - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (9 a^{2}) \cdot 49}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.3.2

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{{(- 42 a - a^{2})}^{2} - 4 \cdot (9 a^{2}) \cdot 49}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.4

Réécrivez $4 \cdot 9 a^{2} \cdot 49$ comme ${(2 \cdot 3 a \cdot 7)}^{2}$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{{(- 42 a - a^{2})}^{2} - {(2 \cdot (3 a) \cdot 7)}^{2}}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 42 a - a^{2}$ et $b = 2 \cdot 3 a \cdot 7$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{(- 42 a - a^{2} + 2 \cdot (3 a) \cdot 7) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6

Simplifiez

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Étape 6.3.5.2.3.1.6.1

Factorisez $a$ à partir de $- 42 a - a^{2} + 2 \cdot 3 a \cdot 7$ .

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Étape 6.3.5.2.3.1.6.1.1

Factorisez $a$ à partir de $- 42 a$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{(a \cdot - 42 - a^{2} + 2 \cdot (3 a) \cdot 7) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.1.2

Factorisez $a$ à partir de $- a^{2}$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{(a \cdot - 42 + a (- a) + 2 \cdot (3 a) \cdot 7) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.1.3

Factorisez $a$ à partir de $2 \cdot 3 a \cdot 7$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{(a \cdot - 42 + a (- a) + a (2 \cdot 3 \cdot 7)) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.1.4

Factorisez $a$ à partir de $a \cdot - 42 + a (- a)$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{(a \cdot (- 42 - a) + a (2 \cdot 3 \cdot 7)) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.1.5

Factorisez $a$ à partir de $a \cdot (- 42 - a) + a (2 \cdot 3 \cdot 7)$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a (- 42 - a + 2 \cdot 3 \cdot 7) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.2

Multipliez $2 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Étape 6.3.5.2.3.1.6.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a (- 42 - a + 6 \cdot 7) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.2.2

Multipliez $6$ par $7$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a (- 42 - a + 42) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.3

Additionnez $- 42$ et $42$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a (- a + 0) (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.4

Additionnez $- a$ et $0$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a \cdot (- 1 a (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7)))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.5

Associez les exposants.

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Étape 6.3.5.2.3.1.6.5.1

Factorisez le signe négatif.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a \cdot a (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.5.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a \cdot a (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.5.3

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a \cdot a (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{1 + 1} (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 42 a - a^{2} - (2 \cdot (3 a) \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.6

Associez les exposants.

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Étape 6.3.5.2.3.1.6.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 42 a - a^{2} - (6 a \cdot 7))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.6.2

Multipliez $7$ par $6$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 42 a - a^{2} - (42 a))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.6.6.3

Multipliez $42$ par $- 1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- 42 a - a^{2} - 42 a)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.7

Soustrayez $42 a$ de $- 42 a$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (- a^{2} - 84 a)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.8

Factorisez $a$ à partir de $- a^{2} - 84 a$ .

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Étape 6.3.5.2.3.1.8.1

Factorisez $a$ à partir de $- a^{2}$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (a (- a) - 84 a)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.8.2

Factorisez $a$ à partir de $- 84 a$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (a (- a) + a \cdot - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.8.3

Factorisez $a$ à partir de $a (- a) + a \cdot - 84$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} (a (- a - 84))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} a (- a - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.9

Associez les exposants.

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Étape 6.3.5.2.3.1.9.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a \cdot a^{2} (- a - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{1 + 2} (- a - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.9.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{3} (- a - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.10

Réécrivez $- a^{3} (- a - 84)$ comme $a^{2} \cdot (- a (- a - 84))$ .

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Étape 6.3.5.2.3.1.10.1

Factorisez $a^{2}$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{- a^{2} a (- a - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.10.2

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $a^{2}$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 a (- a - 84))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.10.3

Ajoutez des parenthèses.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- 1 (a (- a - 84)))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.10.4

Ajoutez des parenthèses.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm \sqrt{a^{2} \cdot (- a (- a - 84))}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm a \sqrt{- a (- a - 84)}}{2 \cdot (9 a^{2})}$

Étape 6.3.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$n = \frac{42 a + a^{2} \pm a \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a^{2}}$

Étape 6.3.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$n = \frac{42 + a + \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a - \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a + \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a - \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a + \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a - \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

Étape 6.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $n (9 n^{2} a^{2} - 42 n a + 49 - a^{2} n) = 0$ vraie.

$n = 0$

$n = \frac{42 + a + \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a - \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = 0$

$n = \frac{42 + a + \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a - \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = 0$

$n = \frac{42 + a + \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$

$n = \frac{42 + a - \sqrt{- a (- a - 84)}}{18 a}$