Ensembles finis Exemples

$\frac{x}{c - 2} = c x + 3$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$c - 2, 1, 1$

Étape 1.2

Supprimez les parenthèses.

$c - 2, 1, 1$

Étape 1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$c - 2$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{x}{c - 2} = c x + 3$ par $c - 2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x}{c - 2} = c x + 3$ par $c - 2$ .

$\frac{x}{c - 2} (c - 2) = c x (c - 2) + 3 (c - 2)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $c - 2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{c - 2} (c - 2) = c x (c - 2) + 3 (c - 2)$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$x = c x (c - 2) + 3 (c - 2)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = c x c + c x \cdot - 2 + 3 (c - 2)$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $c$ par $c$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.2.1

Déplacez $c$ .

$x = c \cdot c x + c x \cdot - 2 + 3 (c - 2)$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $c$ par $c$ .

$x = c^{2} x + c x \cdot - 2 + 3 (c - 2)$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $- 2$ à gauche de $c x$ .

$x = c^{2} x - 2 \cdot (c x) + 3 (c - 2)$

Étape 2.3.1.4

Supprimez les parenthèses.

$x = c^{2} x - 2 c x + 3 (c - 2)$

Étape 2.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$x = c^{2} x - 2 c x + 3 c + 3 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$x = c^{2} x - 2 c x + 3 c - 6$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $c^{2} x - 2 c x + 3 c - 6 = x$ .

$c^{2} x - 2 c x + 3 c - 6 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$c^{2} x - 2 c x + 3 c - 6 - x = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = x$ , $b = - 2 x + 3$ et $c = - 6 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $c$ .

$\frac{- (- 2 x + 3) \pm \sqrt{{(- 2 x + 3)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 6 - x))}}{2 x}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$c = \frac{- (- 2 x) - 1 \cdot 3 \pm \sqrt{{(- 2 x + 3)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$c = \frac{2 x - 1 \cdot 3 \pm \sqrt{{(- 2 x + 3)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{{(- 2 x + 3)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.4

Réécrivez ${(- 2 x + 3)}^{2}$ comme $(- 2 x + 3) (- 2 x + 3)$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{(- 2 x + 3) (- 2 x + 3) - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.5

Développez $(- 2 x + 3) (- 2 x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x + 3) + 3 (- 2 x + 3) - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + 3 (- 2 x + 3) - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 3 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot 3 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot 3 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.6.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.6.1.4

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{4 x^{2} - 6 x + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.6.1.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{4 x^{2} - 6 x - 6 x + 3 \cdot 3 - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.6.1.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9 - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.6.2

Soustrayez $6 x$ de $- 6 x$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9 - 4 \cdot x \cdot (- 6 - x)}}{2 x}$

Étape 3.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9 - 4 x \cdot - 6 - 4 x (- x)}}{2 x}$

Étape 3.5.8

Multipliez $- 6$ par $- 4$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9 + 24 x - 4 x (- x)}}{2 x}$

Étape 3.5.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9 + 24 x - 4 \cdot (- 1 x \cdot x)}}{2 x}$

Étape 3.5.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.10.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.10.1.1

Déplacez $x$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9 + 24 x - 4 \cdot (- 1 (x \cdot x))}}{2 x}$

Étape 3.5.10.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9 + 24 x - 4 \cdot (- 1 x^{2})}}{2 x}$

Étape 3.5.10.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9 + 24 x + 4 x^{2}}}{2 x}$

Étape 3.5.11

Additionnez $4 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{8 x^{2} - 12 x + 9 + 24 x}}{2 x}$

Étape 3.5.12

Additionnez $- 12 x$ et $24 x$ .

$c = \frac{2 x - 3 \pm \sqrt{8 x^{2} + 12 x + 9}}{2 x}$

Étape 3.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$c = \frac{2 x - 3 + \sqrt{8 x^{2} + 12 x + 9}}{2 x}$

$c = \frac{2 x - 3 - \sqrt{8 x^{2} + 12 x + 9}}{2 x}$

$c = \frac{2 x - 3 + \sqrt{8 x^{2} + 12 x + 9}}{2 x}$

$c = \frac{2 x - 3 - \sqrt{8 x^{2} + 12 x + 9}}{2 x}$