Ensembles finis Exemples

$x = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 9 x + 18}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{x^{2} - 6^{2}}{x^{2} - 9 x + 18}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$x = \frac{(x + 6) (x - 6)}{x^{2} - 9 x + 18}$

Étape 1.3

Factorisez $x^{2} - 9 x + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 6, - 3$

Étape 1.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$x = \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x - 3)}$

Étape 1.4

Réduisez l’expression $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x - 3)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x - 6) (x - 3)}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{x + 6}{x - 3}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x - 3$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$1, x - 3$

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x - 3$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $x = \frac{x + 6}{x - 3}$ par $x - 3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $x = \frac{x + 6}{x - 3}$ par $x - 3$ .

$x (x - 3) = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 3 = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

Étape 3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

Étape 3.2.2.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 3 x = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} - 3 x = \frac{x + 6}{x - 3} (x - 3)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 3 x = x + 6$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x - x = 6$

Étape 4.1.2

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x = 6$

Étape 4.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 4 x - 6 = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - 6$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 6$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Additionnez $16$ et $24$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 4.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{10}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + \sqrt{10}, 2 - \sqrt{10}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 2 + \sqrt{10}, 2 - \sqrt{10}$

Forme décimale :

$x = 5.16227766 \dots, - 1.16227766 \dots$