Ensembles finis Exemples

$\frac{x + 1}{2 - x} < \frac{x}{33 + x}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{x}{33 + x}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x + 1}{2 - x} - \frac{x}{33 + x}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{x + 1}{2 - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} < 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{x}{33 + x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{x + 1}{2 - x} \cdot \frac{33 + x}{33 + x} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(2 - x) (33 + x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{x + 1}{2 - x}$ par $\frac{33 + x}{33 + x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x}{33 + x} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{x}{33 + x}$ par $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(33 + x) (2 - x)} < 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(33 + x) (2 - x)$ .

$\frac{(x + 1) (33 + x)}{(2 - x) (33 + x)} - \frac{x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 1) (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Développez $(x + 1) (33 + x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (33 + x) + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 (33 + x) - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 33 + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Déplacez $33$ à gauche de $x$ .

$\frac{33 \cdot x + x \cdot x + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 1 \cdot 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.2.1.3

Multipliez $33$ par $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + 1 x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.2.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{33 x + x^{2} + 33 + x - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $33 x$ et $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x (2 - x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - x \cdot 2 - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - x (- x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.6.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.6.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.6.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + 1 x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.6.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{34 x + x^{2} + 33 - 2 x + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.7

Soustrayez $2 x$ de $34 x$ .

$\frac{32 x + x^{2} + 33 + x^{2}}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.8

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{32 x + 2 x^{2} + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 2.5.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x^{2} + 32 x + 33 = 0$

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 32$ et $c = 33$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 33)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $32$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 2 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 33$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 8 \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $33$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 264}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $264$ de $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{760}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $760$ comme $2^{2} \cdot 190$ .

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Étape 6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $760$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (190)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 190}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{190}}{4}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{190}}{2}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

Étape 8

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 9.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 10

Soustrayez $33$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 33$

Étape 11

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$x = 2$

$x = - 33$

Étape 12

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, 2, - 33$

Étape 13

Déterminez le domaine de $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ .

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Étape 13.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x^{2} + 32 x + 33}{(2 - x) (33 + x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(2 - x) (33 + x) = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x$ .

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Étape 13.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 - x = 0$

$33 + x = 0$

Étape 13.2.2

Définissez $2 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.2.2.1

Définissez $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 13.2.2.2

Résolvez $2 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 13.2.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 13.2.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 13.2.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 13.2.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 13.2.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.2.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 13.2.3

Définissez $33 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.2.3.1

Définissez $33 + x$ égal à $0$ .

$33 + x = 0$

Étape 13.2.3.2

Soustrayez $33$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 33$

Étape 13.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 - x) (33 + x) = 0$ vraie.

$x = 2, - 33$

Étape 13.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 33) \cup (- 33, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 14

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 33$

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$

$x > 2$

Étape 15

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 15.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 33$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 33$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 36$

Étape 15.1.2

Remplacez $x$ par $- 36$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 36) + 1}{2 - (- 36)} < \frac{- 36}{33 - 36}$

Étape 15.1.3

Le côté gauche $- 0.92105263$ est inférieur au côté droit $12$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 15.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 17$

Étape 15.2.2

Remplacez $x$ par $- 17$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 17) + 1}{2 - (- 17)} < \frac{- 17}{33 - 17}$

Étape 15.2.3

Le côté gauche $- 0.84210526$ n’est pas inférieur au côté droit $- 1.0625$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 15.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 15.3.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 4) + 1}{2 - (- 4)} < \frac{- 4}{33 - 4}$

Étape 15.3.3

Le côté gauche $- 0.5$ est inférieur au côté droit $- 0.13793103$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 15.4

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 15.4.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 1}{2 - (0)} < \frac{0}{33 + 0}$

Étape 15.4.3

Le côté gauche $0.5$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 15.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 15.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 15.5.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) + 1}{2 - (4)} < \frac{4}{33 + 4}$

Étape 15.5.3

Le côté gauche $- 2.5$ est inférieur au côté droit $0.\overline{108}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 15.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 33$ Vrai

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Faux

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Vrai

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 33$ Vrai

$- 33 < x < - \frac{16 + \sqrt{190}}{2}$ Faux

$- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ Vrai

$- \frac{16 - \sqrt{190}}{2} < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 16

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 33$ ou $- \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}$ ou $x > 2$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 33 or - \frac{16 + \sqrt{190}}{2} < x < - \frac{16 - \sqrt{190}}{2} or x > 2$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 33) \cup (- \frac{16 + \sqrt{190}}{2}, - \frac{16 - \sqrt{190}}{2}) \cup (2, \infty)$

Étape 18