Ensembles finis Exemples

$x - 2 \sqrt{5 x} = 15$

Étape 1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 \sqrt{5 x} = 15 - x$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- 2 \sqrt{5 x})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5 x}$ comme ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(- 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 x$ .

${(- 2 (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 2)}^{2} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$4 \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot 5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$4 \cdot 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.6

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$20 x^{1} = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.2.1.8

Simplifiez

$20 x = {(15 - x)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(15 - x)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(15 - x)}^{2}$ comme $(15 - x) (15 - x)$ .

$20 x = (15 - x) (15 - x)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(15 - x) (15 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$20 x = 15 (15 - x) - x (15 - x)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$20 x = 15 \cdot 15 + 15 (- x) - x (15 - x)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$20 x = 15 \cdot 15 + 15 (- x) - x \cdot 15 - x (- x)$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $15$ par $15$ .

$20 x = 225 + 15 (- x) - x \cdot 15 - x (- x)$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$20 x = 225 - 15 x - x \cdot 15 - x (- x)$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - x (- x)$

Étape 3.3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Étape 3.3.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Étape 3.3.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x + 1 x^{2}$

Étape 3.3.1.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$20 x = 225 - 15 x - 15 x + x^{2}$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $15 x$ de $- 15 x$ .

$20 x = 225 - 30 x + x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$225 - 30 x + x^{2} = 20 x$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $20 x$ des deux côtés de l’équation.

$225 - 30 x + x^{2} - 20 x = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $20 x$ de $- 30 x$ .

$225 + x^{2} - 50 x = 0$

Étape 4.3

Factorisez $225 + x^{2} - 50 x$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $225$ et dont la somme est $- 50$ .

$- 45, - 5$

Étape 4.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 45) (x - 5) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 45 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 4.5

Définissez $x - 45$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x - 45$ égal à $0$ .

$x - 45 = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $45$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 45$

Étape 4.6

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 45) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = 45, 5$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $x - 2 \sqrt{5 x} = 15$ vrai.

$x = 45$