Ensembles finis Exemples

$\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x - 1)) = \ln (2) + \ln (3)$

Étape 1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Étape 1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

Étape 1.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x) = \ln (2) + \ln (3)$

Étape 1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2) + \ln (3)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2 \cdot 3)$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\ln (x^{2} - x) = \ln (6)$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$x^{2} - x = 6$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Étape 4.2

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 4.4

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 4.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 3) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 3, - 2$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$ vrai.

$x = 3$