Ensembles finis Exemples

$\ln (3 x - 4) = \ln (20) - \ln (x - 5)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (3 x - 4) = \ln (\frac{20}{x - 5})$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$3 x - 4 = \frac{20}{x - 5}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = \frac{20}{x - 5} + 4$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x - 5, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$1, x - 5, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x - 5$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $3 x = \frac{20}{x - 5} + 4$ par $x - 5$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $3 x = \frac{20}{x - 5} + 4$ par $x - 5$ .

$3 x (x - 5) = \frac{20}{x - 5} (x - 5) + 4 (x - 5)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 = \frac{20}{x - 5} (x - 5) + 4 (x - 5)$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.2.1

Déplacez $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 = \frac{20}{x - 5} (x - 5) + 4 (x - 5)$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 = \frac{20}{x - 5} (x - 5) + 4 (x - 5)$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$3 x^{2} - 15 x = \frac{20}{x - 5} (x - 5) + 4 (x - 5)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 3.3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} - 15 x = \frac{20}{x - 5} (x - 5) + 4 (x - 5)$

Étape 3.3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} - 15 x = 20 + 4 (x - 5)$

Étape 3.3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 15 x = 20 + 4 x + 4 \cdot - 5$

Étape 3.3.3.1.3

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$3 x^{2} - 15 x = 20 + 4 x - 20$

Étape 3.3.3.2

Associez les termes opposés dans $20 + 4 x - 20$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Soustrayez $20$ de $20$ .

$3 x^{2} - 15 x = 4 x + 0$

Étape 3.3.3.2.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$3 x^{2} - 15 x = 4 x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.4.1.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 15 x - 4 x = 0$

Étape 3.4.1.2

Soustrayez $4 x$ de $- 15 x$ .

$3 x^{2} - 19 x = 0$

Étape 3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2} - 19 x$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 19 x = 0$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 19 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 19 = 0$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x) + x \cdot - 19$ .

$x (3 x - 19) = 0$

Étape 3.4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$3 x - 19 = 0$

Étape 3.4.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4.5

Définissez $3 x - 19$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.5.1

Définissez $3 x - 19$ égal à $0$ .

$3 x - 19 = 0$

Étape 3.4.5.2

Résolvez $3 x - 19 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.5.2.1

Ajoutez $19$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 19$

Étape 3.4.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 19$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.4.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 19$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{19}{3}$

Étape 3.4.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{19}{3}$

Étape 3.4.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{19}{3}$

Étape 3.4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (3 x - 19) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{19}{3}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (3 x - 4) = \ln (20) - \ln (x - 5)$ vrai.

$x = \frac{19}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{19}{3}$

Forme décimale :

$x = 6.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$x = 6 \frac{1}{3}$