Ensembles finis Exemples

$\ln (1 - x) + \ln (8 - x) = \ln (18)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((1 - x) (8 - x)) = \ln (18)$

Étape 1.2

Développez $(1 - x) (8 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (1 (8 - x) - x (8 - x)) = \ln (18)$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (1 \cdot 8 + 1 (- x) - x (8 - x)) = \ln (18)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (1 \cdot 8 + 1 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$\ln (8 + 1 (- x) - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\ln (8 - x - x \cdot 8 - x (- x)) = \ln (18)$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\ln (8 - x - 8 x - x (- x)) = \ln (18)$

Étape 1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (18)$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (18)$

Étape 1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (8 - x - 8 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (18)$

Étape 1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (8 - x - 8 x + 1 x^{2}) = \ln (18)$

Étape 1.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\ln (8 - x - 8 x + x^{2}) = \ln (18)$

Étape 1.3.2

Soustrayez $8 x$ de $- x$ .

$\ln (8 - 9 x + x^{2}) = \ln (18)$

Étape 2

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$8 - 9 x + x^{2} = 18$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$8 - 9 x + x^{2} - 18 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $18$ de $8$ .

$- 9 x + x^{2} - 10 = 0$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$- 9 u + u^{2} - 10 = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez $- 9 u + u^{2} - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 10, 1$

Étape 3.3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 10) (u + 1) = 0$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x - 10) (x + 1) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 3.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 3.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 10) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 10, - 1$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\ln (1 - x) + \ln (8 - x) = \ln (18)$ vrai.

$x = - 1$