Ensembles finis Exemples

5 {log}_{2} (x) - {log}_{2} (2 x^{3}) = 5

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

5 {log}_{2} (x) - {log}_{2} (2 x^{3}) = 5

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez

5 {log}_{2} (x) - {log}_{2} (2 x^{3})

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3})$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez

5 {log}_{2} (x)

$5 \log_{2} (x)$ en déplaçant

5

$5$ dans le logarithme.

{log}_{2} (x^{5}) - {log}_{2} (2 x^{3}) = 5

$\log_{2} (x^{5}) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

Étape 2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes,

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

{log}_{2} (\frac{x^{5}}{2 x^{3}}) = 5

$\log_{2} (\frac{x^{5}}{2 x^{3}}) = 5$

Étape 2.1.3

Réduisez l’expression

\frac{x^{5}}{2 x^{3}}

$\frac{x^{5}}{2 x^{3}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.1

Factorisez

x^{3}

$x^{3}$ à partir de

x^{5}

$x^{5}$ .

{log}_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{2 x^{3}}) = 5

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{2 x^{3}}) = 5$

Étape 2.1.3.2

Factorisez

x^{3}

$x^{3}$ à partir de

2 x^{3}

$2 x^{3}$ .

{log}_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Étape 2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

Étape 2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{2}) = 5$

Étape 2.1.4

Réécrivez

$\frac{x^{2}}{2}$ comme

$x^{2} \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1}) = 5$

Étape 2.1.5

Réécrivez

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1})$ comme

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1}) = 5$

Étape 2.1.6

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer

$- 1$ de l’exposant.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2) = 5$

Étape 2.1.7

La base logarithmique

$2$ de

$2$ est

$1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 \cdot 1 = 5$

Étape 2.1.8

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$\log_{2} (x^{2}) - 1 = 5$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas

$x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez

$1$ aux deux côtés de l’équation.

$\log_{2} (x^{2}) = 5 + 1$

Étape 3.2

Additionnez

$5$ et

$1$ .

$\log_{2} (x^{2}) = 6$

Étape 4

Écrivez en forme exponentielle.

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Étape 4.1

Pour les équations logarithmiques,

$\log_{b} (x) = y$ est équivalent à

$b^{y} = x$ de sorte que

$x > 0$ ,

$b > 0$ et

$b \neq 1$ . Dans ce cas,

$b = 2$ ,

$x = x^{2}$ et

$y = 6$ .

$b = 2$

$x = x^{2}$

$y = 6$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de

$b$ ,

$x$ et

$y$ dans l’équation

$b^{y} = x$ .

$2^{6} = x^{2}$

Étape 5

Résolvez

$x$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme

$x^{2} = 2^{6}$ .

$x^{2} = 2^{6}$

Étape 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2^{6}}$

Étape 5.3

Simplifiez

$\pm \sqrt{2^{6}}$ .

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Étape 5.3.1

Élevez

$2$ à la puissance

$6$ .

$x = \pm \sqrt{64}$

Étape 5.3.2

Réécrivez

$64$ comme

$8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Étape 5.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 8$

Étape 5.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du

$\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 8$

Étape 5.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du

$\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 8$

Étape 5.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 8, - 8$

Étape 6

Excluez les solutions qui ne rendent pas

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$ vrai.

$x = 8$