Ensembles finis Exemples

$P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$

Étape 1

Écrivez $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ comme une équation.

$y = 20000 {(1.02)}^{t}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$t = 20000 {(1.02)}^{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ .

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$

Étape 3.2

Divisez chaque terme dans $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ par $20000$ et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ par $20000$ .

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $20000$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

Étape 3.2.2.1.2

Divisez ${1.02}^{y}$ par $1$ .

${1.02}^{y} = \frac{t}{20000}$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({1.02}^{y}) = \ln (\frac{t}{20000})$

Étape 3.4

Développez $\ln ({1.02}^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ par $\ln (1.02)$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ par $\ln (1.02)$ .

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (1.02)$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Étape 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

Étape 5

Vérifiez si $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ est l’inverse de $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $P^{- 1} (P (t)) = t$ et $P (P^{- 1} (t)) = t$ .

Étape 5.2

Évaluez $P^{- 1} (P (t))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$P^{- 1} (P (t))$

Étape 5.2.2

Évaluez $P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t})$ en remplaçant la valeur de $P$ par $P^{- 1}$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Étape 5.2.3

Annulez le facteur commun de $20000$ .

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

Étape 5.2.3.2

Divisez ${(1.02)}^{t}$ par $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln ({(1.02)}^{t})}{\ln (1.02)}$

Étape 5.2.4

Développez $\ln ({(1.02)}^{t})$ en déplaçant $t$ hors du logarithme.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $\ln (1.02)$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

Étape 5.2.5.2

Divisez $t$ par $1$ .

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = t$

Étape 5.3

Évaluez $P (P^{- 1} (t))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$P (P^{- 1} (t))$

Étape 5.3.2

Évaluez $P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)})$ en remplaçant la valeur de $P^{- 1}$ par $P$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 {(1.02)}^{\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}}$

Étape 5.3.3

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot {1.02}^{\log_{1.02} (\frac{t}{20000})}$

Étape 5.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $20000$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = t$

Étape 5.4

Comme $P^{- 1} (P (t)) = t$ et $P (P^{- 1} (t)) = t$ , $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ est l’inverse de $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ .

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$