Ensembles finis Exemples

$f {(x)}^{- 1} = \frac{5 x}{2 x - 7}$

Étape 1

Multipliez l’équation par $2 x - 7$ .

$(2 x - 7) (f x^{- 1}) = (\frac{5 x}{2 x - 7}) (2 x - 7)$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Simplifiez $(2 x - 7) (f x^{- 1})$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(2 x - 7) (f \frac{1}{x}) = (\frac{5 x}{2 x - 7}) (2 x - 7)$

Étape 2.1.2

Associez $f$ et $\frac{1}{x}$ .

$(2 x - 7) \frac{f}{x} = (\frac{5 x}{2 x - 7}) (2 x - 7)$

Étape 2.1.3

Multipliez $2 x - 7$ par $\frac{f}{x}$ .

$\frac{(2 x - 7) f}{x} = (\frac{5 x}{2 x - 7}) (2 x - 7)$

Étape 2.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(2 x - 7) f}{x}$ .

$\frac{f (2 x - 7)}{x} = (\frac{5 x}{2 x - 7}) (2 x - 7)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $2 x - 7$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f (2 x - 7)}{x} = \frac{5 x}{2 x - 7} (2 x - 7)$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{f (2 x - 7)}{x} = 5 x$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 4.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{f (2 x - 7)}{x} = 5 x$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{f (2 x - 7)}{x} = 5 x$ par $x$ .

$\frac{f (2 x - 7)}{x} x = 5 x \cdot x$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f (2 x - 7)}{x} x = 5 x \cdot x$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (2 x - 7) = 5 x \cdot x$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (2 x) + f \cdot - 7 = 5 x \cdot x$

Étape 4.2.2.3

Remettez dans l’ordre.

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Étape 4.2.2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 f x + f \cdot - 7 = 5 x \cdot x$

Étape 4.2.2.3.2

Déplacez $- 7$ à gauche de $f$ .

$2 f x - 7 f = 5 x \cdot x$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.3.1.1

Déplacez $x$ .

$2 f x - 7 f = 5 (x \cdot x)$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 f x - 7 f = 5 x^{2}$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $5 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 f x - 7 f - 5 x^{2} = 0$

Étape 4.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.3.3

Remplacez les valeurs $a = - 5$ , $b = 2 f$ et $c = - 7 f$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 f \pm \sqrt{{(2 f)}^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot (- 7 f))}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4

Simplifiez

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Étape 4.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.4.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{{(2 f)}^{2} - 4 \cdot (- 5 \cdot (- 7 f))}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.2

Laissez $u = - 5 \cdot (- 7 f)$ . Remplacez toutes les occurrences de $- 5 \cdot (- 7 f)$ par $u$ .

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Étape 4.3.4.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 f$ .

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{2^{2} f^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{4 f^{2} - 4 u}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 f^{2} - 4 u$ .

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Étape 4.3.4.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 f^{2}$ .

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{4 (f^{2}) - 4 u}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{4 (f^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (f^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{4 (f^{2} - u)}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 5 \cdot (- 7 f)$ .

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{4 (f^{2} - (- 5 \cdot (- 7 f)))}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.4.1.5.1

Multipliez $- 7$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{4 (f^{2} - (35 f))}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.5.2

Multipliez $35$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{4 (f^{2} - 35 f)}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.6

Factorisez $f$ à partir de $f^{2} - 35 f$ .

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Étape 4.3.4.1.6.1

Factorisez $f$ à partir de $f^{2}$ .

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{4 (f \cdot f - 35 f)}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.6.2

Factorisez $f$ à partir de $- 35 f$ .

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{4 (f \cdot f + f \cdot - 35)}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.6.3

Factorisez $f$ à partir de $f \cdot f + f \cdot - 35$ .

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{4 (f (f - 35))}}{2 \cdot - 5}$

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{4 f (f - 35)}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.7

Réécrivez $4 f (f - 35)$ comme $2^{2} (f (f - 35))$ .

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Étape 4.3.4.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{2^{2} f (f - 35)}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$x = \frac{- 2 f \pm \sqrt{2^{2} (f (f - 35))}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 f \pm 2 \sqrt{f (f - 35)}}{2 \cdot - 5}$

Étape 4.3.4.2

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$x = \frac{- 2 f \pm 2 \sqrt{f (f - 35)}}{- 10}$

Étape 4.3.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 f \pm 2 \sqrt{f (f - 35)}}{- 10}$ .

$x = \frac{f \pm \sqrt{f (f - 35)}}{5}$

Étape 4.3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{f + \sqrt{f (f - 35)}}{5}$

$x = \frac{f - \sqrt{f (f - 35)}}{5}$

$x = \frac{f + \sqrt{f (f - 35)}}{5}$

$x = \frac{f - \sqrt{f (f - 35)}}{5}$

$x = \frac{f + \sqrt{f (f - 35)}}{5}$

$x = \frac{f - \sqrt{f (f - 35)}}{5}$