Ensembles finis Exemples

$8 y^{3} - 1 = 0$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$8 y^{3} = 1$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$8 y^{3} - 1 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez $8 y^{3}$ comme ${(2 y)}^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1 = 0$

Étape 3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

${(2 y)}^{3} - 1^{3} = 0$

Étape 3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 2 y$ et $b = 1$ .

$(2 y - 1) ({(2 y)}^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la règle de produit à $2 y$ .

$(2 y - 1) (2^{2} y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 3.4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1^{2}) = 0$

Étape 3.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Étape 5

Définissez $2 y - 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 y - 1$ égal à $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 y - 1 = 0$ pour $y$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Étape 6

Définissez $4 y^{2} + 2 y + 1$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Définissez $4 y^{2} + 2 y + 1$ égal à $0$ .

$4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $4 y^{2} + 2 y + 1 = 0$ pour $y$ .

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Étape 6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = 2$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

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Étape 6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 y - 1) (4 y^{2} + 2 y + 1) = 0$ vraie.

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$