Ensembles finis Exemples

$y = 2 x - | 4 - x^{2} |$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $2 x - | 4 - x^{2} | = y$ .

$2 x - | 4 - x^{2} | = y$

Étape 2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- | 4 - x^{2} | = y - 2 x$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $- | 4 - x^{2} | = y - 2 x$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- | 4 - x^{2} | = y - 2 x$ par $- 1$ .

$\frac{- | 4 - x^{2} |}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{| 4 - x^{2} |}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Étape 3.2.2

Divisez $| 4 - x^{2} |$ par $1$ .

$| 4 - x^{2} | = \frac{y}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{y}{- 1}$ .

$| 4 - x^{2} | = - 1 \cdot y + \frac{- 2 x}{- 1}$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot y$ comme $- y$ .

$| 4 - x^{2} | = - y + \frac{- 2 x}{- 1}$

Étape 3.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2 x}{- 1}$ .

$| 4 - x^{2} | = - y - 1 \cdot (- 2 x)$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot (- 2 x)$ comme $- (- 2 x)$ .

$| 4 - x^{2} | = - y - (- 2 x)$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$| 4 - x^{2} | = - y + 2 x$

Étape 4

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$4 - x^{2} = \pm (- y + 2 x)$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$4 - x^{2} = - y + 2 x$

Étape 5.2

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 - x^{2} - 2 x = - y$

Étape 5.3

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$4 - x^{2} - 2 x + y = 0$

Étape 5.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = - 2$ et $c = 4 + y$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (4 + y))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 + y)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (4 + y)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 4 + 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 + 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.5

Additionnez $4$ et $16$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20 + 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.6

Factorisez $4$ à partir de $20 + 4 y$ .

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Étape 5.6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 5 + 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 5 + 4 y$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5 + y)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (5 + y)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5 + y}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5 + y}}{- 2}$

Étape 5.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5 + y}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5 + y}}{- 1}$

Étape 5.6.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1 \pm \sqrt{5 + y}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (1 \pm \sqrt{5 + y})$

Étape 5.6.5

Réécrivez $- 1 \cdot (1 \pm \sqrt{5 + y})$ comme $- (1 \pm \sqrt{5 + y})$ .

$x = - (1 \pm \sqrt{5 + y})$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 - \sqrt{5 + y}$

$x = - 1 + \sqrt{5 + y}$

Étape 5.8

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$4 - x^{2} = - (- y + 2 x)$

Étape 5.9

Simplifiez $- (- y + 2 x)$ .

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Étape 5.9.1

Réécrivez.

$4 - x^{2} = 0 + 0 - (- y + 2 x)$

Étape 5.9.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$4 - x^{2} = - (- y + 2 x)$

Étape 5.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 - x^{2} = - - y - (2 x)$

Étape 5.9.4

Multipliez $- - y$ .

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Étape 5.9.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 - x^{2} = 1 y - (2 x)$

Étape 5.9.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$4 - x^{2} = y - (2 x)$

Étape 5.9.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 - x^{2} = y - 2 x$

Étape 5.10

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$4 - x^{2} + 2 x = y$

Étape 5.11

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$4 - x^{2} + 2 x - y = 0$

Étape 5.12

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.13

Remplacez les valeurs $a = - 1$ , $b = 2$ et $c = 4 - y$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (4 - y))}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.14

Simplifiez

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Étape 5.14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.14.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (4 - y)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.14.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (4 - y)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.14.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 4 + 4 (- y)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.14.1.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16 + 4 (- y)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.14.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 16 - 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.14.1.6

Additionnez $4$ et $16$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{20 - 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.14.1.7

Factorisez $4$ à partir de $20 - 4 y$ .

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Étape 5.14.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5) - 4 y}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.14.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 y$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5) + 4 (- y)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.14.1.7.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (5) + 4 (- y)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (5 - y)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.14.1.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (5 - y)}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.14.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5 - y}}{2 \cdot - 1}$

Étape 5.14.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5 - y}}{- 2}$

Étape 5.14.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{5 - y}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{5 - y}$

Étape 5.15

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + \sqrt{5 - y}$

$x = 1 - \sqrt{5 - y}$

Étape 5.16

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = - 1 - \sqrt{5 + y}$

$x = - 1 + \sqrt{5 + y}$

$x = 1 + \sqrt{5 - y}$

$x = 1 - \sqrt{5 - y}$

$x = - 1 - \sqrt{5 + y}$

$x = - 1 + \sqrt{5 + y}$

$x = 1 + \sqrt{5 - y}$

$x = 1 - \sqrt{5 - y}$