Ensembles finis Exemples

$y = - \sqrt{49 - x^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $- \sqrt{49 - x^{2}} = y$ .

$- \sqrt{49 - x^{2}} = y$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- \sqrt{49 - x^{2}} = y$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- \sqrt{49 - x^{2}} = y$ par $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{49 - x^{2}}}{- 1} = \frac{y}{- 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sqrt{49 - x^{2}}}{1} = \frac{y}{- 1}$

Étape 2.2.1.2

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 2.2.1.2.1

Divisez $\sqrt{49 - x^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{49 - x^{2}} = \frac{y}{- 1}$

Étape 2.2.1.2.2

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$\sqrt{7^{2} - x^{2}} = \frac{y}{- 1}$

Étape 2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 7$ et $b = x$ .

$\sqrt{(7 + x) (7 - x)} = \frac{y}{- 1}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{y}{- 1}$ .

$\sqrt{(7 + x) (7 - x)} = - 1 \cdot y$

Étape 2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot y$ comme $- y$ .

$\sqrt{(7 + x) (7 - x)} = - y$

Étape 3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{(7 + x) (7 - x)}}^{2} = {(- y)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ comme ${((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez ${({((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${((7 + x) (7 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${((7 + x) (7 - x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.2

Développez $(7 + x) (7 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(7 (7 - x) + x (7 - x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(7 \cdot 7 + 7 (- x) + x (7 - x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(7 \cdot 7 + 7 (- x) + x \cdot 7 + x (- x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.3.1.1

Multipliez $7$ par $7$ .

${(49 + 7 (- x) + x \cdot 7 + x (- x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $7$ .

${(49 - 7 x + x \cdot 7 + x (- x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.3.1.3

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

${(49 - 7 x + 7 \cdot x + x (- x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(49 - 7 x + 7 x - x \cdot x)}^{1} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

${(49 - 7 x + 7 x - (x \cdot x))}^{1} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

${(49 - 7 x + 7 x - x^{2})}^{1} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.3.2

Additionnez $- 7 x$ et $7 x$ .

${(49 + 0 - x^{2})}^{1} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.3.3

Additionnez $49$ et $0$ .

${(49 - x^{2})}^{1} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.2.1.4

Simplifiez

$49 - x^{2} = {(- y)}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Simplifiez ${(- y)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$49 - x^{2} = {(- 1)}^{2} y^{2}$

Étape 4.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$49 - x^{2} = 1 y^{2}$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$49 - x^{2} = y^{2}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $49$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = y^{2} - 49$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = y^{2} - 49$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = y^{2} - 49$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{- 49}{- 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$x^{2} = - 1 \cdot y^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$x^{2} = - y^{2} + \frac{- 49}{- 1}$

Étape 5.2.3.1.3

Divisez $- 49$ par $- 1$ .

$x^{2} = - y^{2} + 49$

Étape 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 49}$

Étape 5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- y^{2} + 49}$ .

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Étape 5.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- y^{2} + 7^{2}}$

Étape 5.4.1.2

Remettez dans l’ordre $- y^{2}$ et $7^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{7^{2} - y^{2}}$

Étape 5.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 7$ et $b = y$ .

$x = \pm \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

Étape 5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

Étape 5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

Étape 5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = - \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = - \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$

$x = - \sqrt{(7 + y) (7 - y)}$