Ensembles finis Exemples

$\frac{1}{x^{4}} = {(\frac{1}{x})}^{y - 1}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$ .

${(\frac{1}{x})}^{y - 1} = \frac{1}{x^{4}}$

Étape 2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Étape 3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.1

Développez $\ln ({(\frac{1}{x})}^{y - 1})$ en déplaçant $y - 1$ hors du logarithme.

$(y - 1) \ln (\frac{1}{x}) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (\frac{1}{x})$ comme $\ln (1) - \ln (x)$ .

$(y - 1) (\ln (1) - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Étape 3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$(y - 1) (0 - \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Étape 3.4

Soustrayez $\ln (x)$ de $0$ .

$(y - 1) (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Étape 4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1

Simplifiez $(y - 1) (- \ln (x))$ .

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (- \ln (x)) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Étape 4.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- y \ln (x) - 1 (- \ln (x)) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 1 (- \ln (x))$ .

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- y \ln (x) + 1 \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$- y \ln (x) + \ln (x) = \ln (\frac{1}{x^{4}})$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- y \ln (x) + \ln (x) - \ln (\frac{1}{x^{4}}) = 0$

Étape 6

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- y \ln (x) + \ln (\frac{x}{\frac{1}{x^{4}}}) = 0$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Étape 7.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 7.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- y \ln (x) + \ln (x \cdot x^{4}) = 0$

Étape 7.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- y \ln (x) + \ln (x^{1 + 4}) = 0$

Étape 7.2.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$- y \ln (x) + \ln (x^{5}) = 0$

Étape 8

Soustrayez $\ln (x^{5})$ des deux côtés de l’équation.

$- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ par $- \ln (x)$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $- y \ln (x) = - \ln (x^{5})$ par $- \ln (x)$ .

$\frac{- y \ln (x)}{- \ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Étape 9.2.2

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Étape 9.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \ln (x^{5})}{- \ln (x)}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{\ln (x^{5})}{\ln (x)}$