Ensembles finis Exemples

${(3 + 4 i)}^{2} (2 x - 2 y i) = x + y i$

Étape 1

Simplifiez ${(3 + 4 i)}^{2} (2 x - 2 y i)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + {(3 + 4 i)}^{2} (2 x - 2 y i) = x + y i$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

${(3 + 4 i)}^{2} (2 x) + {(3 + 4 i)}^{2} (- 2 y i) = x + y i$

Étape 1.3

Déplacez $2$ à gauche de ${(3 + 4 i)}^{2}$ .

$2 {(3 + 4 i)}^{2} x + {(3 + 4 i)}^{2} (- 2 y i) = x + y i$

Étape 1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 {(3 + 4 i)}^{2} x + {(3 + 4 i)}^{2} (- 2 y i)$ .

$2 x {(3 + 4 i)}^{2} - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} = x + y i$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $y i$ des deux côtés de l’équation.

$2 x {(3 + 4 i)}^{2} - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Réécrivez ${(3 + 4 i)}^{2}$ comme $(3 + 4 i) (3 + 4 i)$ .

$2 x ((3 + 4 i) (3 + 4 i)) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.2

Développez $(3 + 4 i) (3 + 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (3 (3 + 4 i) + 4 i (3 + 4 i)) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (3 \cdot 3 + 3 (4 i) + 4 i (3 + 4 i)) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (3 \cdot 3 + 3 (4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (4 i)) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$2 x (9 + 3 (4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (4 i)) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$2 x (9 + 12 i + 4 i \cdot 3 + 4 i (4 i)) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$2 x (9 + 12 i + 12 i + 4 i (4 i)) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.3.1.4

Multipliez $4 i (4 i)$ .

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Étape 2.2.3.1.4.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$2 x (9 + 12 i + 12 i + 16 i i) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 x (9 + 12 i + 12 i + 16 (i^{1} i)) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$2 x (9 + 12 i + 12 i + 16 (i^{1} i^{1})) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x (9 + 12 i + 12 i + 16 i^{1 + 1}) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x (9 + 12 i + 12 i + 16 i^{2}) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$2 x (9 + 12 i + 12 i + 16 \cdot - 1) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.3.1.6

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$2 x (9 + 12 i + 12 i - 16) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.3.2

Soustrayez $16$ de $9$ .

$2 x (- 7 + 12 i + 12 i) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.3.3

Additionnez $12 i$ et $12 i$ .

$2 x (- 7 + 24 i) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot - 7 + 2 x (24 i) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$- 14 x + 2 x (24 i) - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.6

Multipliez $24$ par $2$ .

$- 14 x + 48 x i - 2 y i {(3 + 4 i)}^{2} - y i = x$

Étape 2.2.7

Réécrivez ${(3 + 4 i)}^{2}$ comme $(3 + 4 i) (3 + 4 i)$ .

$- 14 x + 48 x i - 2 y i ((3 + 4 i) (3 + 4 i)) - y i = x$

Étape 2.2.8

Développez $(3 + 4 i) (3 + 4 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (3 (3 + 4 i) + 4 i (3 + 4 i)) - y i = x$

Étape 2.2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (3 \cdot 3 + 3 (4 i) + 4 i (3 + 4 i)) - y i = x$

Étape 2.2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (3 \cdot 3 + 3 (4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (4 i)) - y i = x$

Étape 2.2.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.9.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (9 + 3 (4 i) + 4 i \cdot 3 + 4 i (4 i)) - y i = x$

Étape 2.2.9.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (9 + 12 i + 4 i \cdot 3 + 4 i (4 i)) - y i = x$

Étape 2.2.9.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (9 + 12 i + 12 i + 4 i (4 i)) - y i = x$

Étape 2.2.9.1.4

Multipliez $4 i (4 i)$ .

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Étape 2.2.9.1.4.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (9 + 12 i + 12 i + 16 i i) - y i = x$

Étape 2.2.9.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (9 + 12 i + 12 i + 16 (i^{1} i)) - y i = x$

Étape 2.2.9.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (9 + 12 i + 12 i + 16 (i^{1} i^{1})) - y i = x$

Étape 2.2.9.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (9 + 12 i + 12 i + 16 i^{1 + 1}) - y i = x$

Étape 2.2.9.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (9 + 12 i + 12 i + 16 i^{2}) - y i = x$

Étape 2.2.9.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (9 + 12 i + 12 i + 16 \cdot - 1) - y i = x$

Étape 2.2.9.1.6

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (9 + 12 i + 12 i - 16) - y i = x$

Étape 2.2.9.2

Soustrayez $16$ de $9$ .

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (- 7 + 12 i + 12 i) - y i = x$

Étape 2.2.9.3

Additionnez $12 i$ et $12 i$ .

$- 14 x + 48 x i - 2 y i (- 7 + 24 i) - y i = x$

Étape 2.2.10

Appliquez la propriété distributive.

$- 14 x + 48 x i - 2 y i \cdot - 7 - 2 y i (24 i) - y i = x$

Étape 2.2.11

Multipliez $- 7$ par $- 2$ .

$- 14 x + 48 x i + 14 y i - 2 y i (24 i) - y i = x$

Étape 2.2.12

Multipliez $- 2 y i (24 i)$ .

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Étape 2.2.12.1

Multipliez $24$ par $- 2$ .

$- 14 x + 48 x i + 14 y i - 48 y i i - y i = x$

Étape 2.2.12.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 14 x + 48 x i + 14 y i - 48 y (i^{1} i) - y i = x$

Étape 2.2.12.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$- 14 x + 48 x i + 14 y i - 48 y (i^{1} i^{1}) - y i = x$

Étape 2.2.12.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 14 x + 48 x i + 14 y i - 48 y i^{1 + 1} - y i = x$

Étape 2.2.12.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 14 x + 48 x i + 14 y i - 48 y i^{2} - y i = x$

Étape 2.2.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.13.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 14 x + 48 x i + 14 y i - 48 y \cdot - 1 - y i = x$

Étape 2.2.13.2

Multipliez $- 1$ par $- 48$ .

$- 14 x + 48 x i + 14 y i + 48 y - y i = x$

Étape 2.3

Soustrayez $y i$ de $14 y i$ .

$- 14 x + 48 x i + 13 y i + 48 y = x$

Étape 3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $14 x$ aux deux côtés de l’équation.

$48 x i + 13 y i + 48 y = x + 14 x$

Étape 3.2

Soustrayez $48 x i$ des deux côtés de l’équation.

$13 y i + 48 y = x + 14 x - 48 x i$

Étape 3.3

Additionnez $x$ et $14 x$ .

$13 y i + 48 y = 15 x - 48 x i$

Étape 4

Factorisez $y$ à partir de $13 y i + 48 y$ .

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Étape 4.1

Factorisez $y$ à partir de $13 y i$ .

$y (13 i) + 48 y = 15 x - 48 x i$

Étape 4.2

Factorisez $y$ à partir de $48 y$ .

$y (13 i) + y \cdot 48 = 15 x - 48 x i$

Étape 4.3

Factorisez $y$ à partir de $y (13 i) + y \cdot 48$ .

$y (13 i + 48) = 15 x - 48 x i$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $y (13 i + 48) = 15 x - 48 x i$ par $13 i + 48$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $y (13 i + 48) = 15 x - 48 x i$ par $13 i + 48$ .

$\frac{y (13 i + 48)}{13 i + 48} = \frac{15 x}{13 i + 48} + \frac{- 48 x i}{13 i + 48}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $13 i + 48$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (13 i + 48)}{13 i + 48} = \frac{15 x}{13 i + 48} + \frac{- 48 x i}{13 i + 48}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{15 x}{13 i + 48} + \frac{- 48 x i}{13 i + 48}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{15 x - 48 x i}{13 i + 48}$

Étape 5.3.2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{15 x - 48 x i}{48 + 13 i}$ par le conjugué de $48 + 13 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$y = \frac{15 x - 48 x i}{48 + 13 i} \cdot \frac{48 - 13 i}{48 - 13 i}$

Étape 5.3.3

Multipliez.

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Étape 5.3.3.1

Associez.

$y = \frac{(15 x - 48 x i) (48 - 13 i)}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Développez $(15 x - 48 x i) (48 - 13 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{15 x (48 - 13 i) - 48 x i (48 - 13 i)}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{15 x \cdot 48 + 15 x (- 13 i) - 48 x i (48 - 13 i)}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{15 x \cdot 48 + 15 x (- 13 i) - 48 x i \cdot 48 - 48 x i (- 13 i)}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.2.2.1.1

Multipliez $48$ par $15$ .

$y = \frac{720 x + 15 x (- 13 i) - 48 x i \cdot 48 - 48 x i (- 13 i)}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.2

Multipliez $- 13$ par $15$ .

$y = \frac{720 x - 195 x i - 48 x i \cdot 48 - 48 x i (- 13 i)}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.3

Multipliez $48$ par $- 48$ .

$y = \frac{720 x - 195 x i - 2304 x i - 48 x i (- 13 i)}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.4

Multipliez $- 48 x i (- 13 i)$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1.4.1

Multipliez $- 13$ par $- 48$ .

$y = \frac{720 x - 195 x i - 2304 x i + 624 x i i}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{720 x - 195 x i - 2304 x i + 624 x (i^{1} i)}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{720 x - 195 x i - 2304 x i + 624 x (i^{1} i^{1})}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{720 x - 195 x i - 2304 x i + 624 x i^{1 + 1}}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{720 x - 195 x i - 2304 x i + 624 x i^{2}}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = \frac{720 x - 195 x i - 2304 x i + 624 x \cdot - 1}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $624$ .

$y = \frac{720 x - 195 x i - 2304 x i - 624 x}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Soustrayez $624 x$ de $720 x$ .

$y = \frac{- 195 x i - 2304 x i + 96 x}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.2.2.3

Soustrayez $2304 x i$ de $- 195 x i$ .

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{(48 + 13 i) (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.3.1

Développez $(48 + 13 i) (48 - 13 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{48 (48 - 13 i) + 13 i (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{48 \cdot 48 + 48 (- 13 i) + 13 i (48 - 13 i)}$

Étape 5.3.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{48 \cdot 48 + 48 (- 13 i) + 13 i \cdot 48 + 13 i (- 13 i)}$

Étape 5.3.3.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.3.3.2.1

Multipliez $48$ par $48$ .

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{2304 + 48 (- 13 i) + 13 i \cdot 48 + 13 i (- 13 i)}$

Étape 5.3.3.3.2.2

Multipliez $- 13$ par $48$ .

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{2304 - 624 i + 13 i \cdot 48 + 13 i (- 13 i)}$

Étape 5.3.3.3.2.3

Multipliez $48$ par $13$ .

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{2304 - 624 i + 624 i + 13 i (- 13 i)}$

Étape 5.3.3.3.2.4

Multipliez $- 13$ par $13$ .

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{2304 - 624 i + 624 i - 169 i i}$

Étape 5.3.3.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{2304 - 624 i + 624 i - 169 (i^{1} i)}$

Étape 5.3.3.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{2304 - 624 i + 624 i - 169 (i^{1} i^{1})}$

Étape 5.3.3.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{2304 - 624 i + 624 i - 169 i^{1 + 1}}$

Étape 5.3.3.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{2304 - 624 i + 624 i - 169 i^{2}}$

Étape 5.3.3.3.2.9

Additionnez $- 624 i$ et $624 i$ .

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{2304 + 0 - 169 i^{2}}$

Étape 5.3.3.3.2.10

Additionnez $2304$ et $0$ .

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{2304 - 169 i^{2}}$

Étape 5.3.3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{2304 - 169 \cdot - 1}$

Étape 5.3.3.3.3.2

Multipliez $- 169$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{2304 + 169}$

Étape 5.3.3.3.4

Additionnez $2304$ et $169$ .

$y = \frac{- 2499 x i + 96 x}{2473}$

Étape 5.3.4

Factorisez $3 x$ à partir de $- 2499 x i + 96 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Factorisez $3 x$ à partir de $- 2499 x i$ .

$y = \frac{3 x (- 833 i) + 96 x}{2473}$

Étape 5.3.4.2

Factorisez $3 x$ à partir de $96 x$ .

$y = \frac{3 x (- 833 i) + 3 x (32)}{2473}$

Étape 5.3.4.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (- 833 i) + 3 x (32)$ .

$y = \frac{3 x (- 833 i + 32)}{2473}$

Étape 5.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 833 i$ .

$y = \frac{3 x (- (833 i) + 32)}{2473}$

Étape 5.3.6

Réécrivez $32$ comme $- 1 (- 32)$ .

$y = \frac{3 x (- (833 i) - 1 (- 32))}{2473}$

Étape 5.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (833 i) - 1 (- 32)$ .

$y = \frac{3 x (- (833 i - 32))}{2473}$

Étape 5.3.8

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.8.1

Réécrivez $- (833 i - 32)$ comme $- 1 (833 i - 32)$ .

$y = \frac{3 x (- 1 (833 i - 32))}{2473}$

Étape 5.3.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{(3 x) (833 i - 32)}{2473}$

Étape 5.3.8.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(3 x) (833 i - 32)}{2473}$ .

$y = - \frac{3 x (833 i - 32)}{2473}$

Étape 5.3.8.4

Remettez dans l’ordre $833 i$ et $- 32$ .

$y = - \frac{3 x (- 32 + 833 i)}{2473}$