Ensembles finis Exemples

${(3 x - 2)}^{4}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(3 x - 2)}^{4}$ , $n = 4$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $5$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ .

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $3 x$ et $b$ $- 2$ dans l’expression.

$1 {(3 x)}^{4} {(- 2)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(3 x)}^{4}$ par $1$ .

${(3 x)}^{4} {(- 2)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$3^{4} x^{4} {(- 2)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.3

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 x^{4} {(- 2)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 x^{4} \cdot 1 + 4 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.5

Multipliez $81$ par $1$ .

$81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} {(- 2)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.6

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) {(- 2)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) {(- 2)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.8

Multipliez $27$ par $4$ .

$81 x^{4} + 108 x^{3} {(- 2)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.9

Évaluez l’exposant.

$81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot - 2 + 6 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.10

Multipliez $- 2$ par $108$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 6 (9 x^{2}) {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.13

Multipliez $9$ par $6$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 54 x^{2} {(- 2)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.14

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 4 + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.15

Multipliez $4$ par $54$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.16

Simplifiez

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 (3 x) {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.17

Multipliez $3$ par $4$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x {(- 2)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.18

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot - 8 + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.19

Multipliez $- 8$ par $12$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 216 x^{2} - 96 x + 1 {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.20

Multipliez ${(3 x)}^{0}$ par $1$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 216 x^{2} - 96 x + {(3 x)}^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.21

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 216 x^{2} - 96 x + 3^{0} x^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.22

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 216 x^{2} - 96 x + 1 x^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.23

Multipliez $x^{0}$ par $1$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 216 x^{2} - 96 x + x^{0} {(- 2)}^{4}$

Étape 4.24

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 216 x^{2} - 96 x + 1 {(- 2)}^{4}$

Étape 4.25

Multipliez ${(- 2)}^{4}$ par $1$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 216 x^{2} - 96 x + {(- 2)}^{4}$

Étape 4.26

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$81 x^{4} - 216 x^{3} + 216 x^{2} - 96 x + 16$