Ensembles finis Exemples

$y = x \div x^{2} + 5 x + 6$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x \div x^{2} + 5 x + 6 = y$ .

$x \div x^{2} + 5 x + 6 = y$

Étape 2

Réduisez l’expression $x \div x^{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} \div x^{2} + 5 x + 6 = y$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 \div x^{2} + 5 x + 6 = y$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot 1 \div x \cdot x + 5 x + 6 = y$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun.

$x \cdot 1 \div x \cdot x + 5 x + 6 = y$

Étape 2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} + 5 x + 6 = y$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1, 1, 1$

Étape 3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x} + 5 x + 6 = y$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x} + 5 x + 6 = y$ par $x$ .

$\frac{1}{x} x + 5 x \cdot x + 6 x = y x$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} x + 5 x \cdot x + 6 x = y x$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 5 x \cdot x + 6 x = y x$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$1 + 5 (x \cdot x) + 6 x = y x$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 + 5 x^{2} + 6 x = y x$

Étape 5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $y x$ des deux côtés de l’équation.

$1 + 5 x^{2} + 6 x - y x = 0$

Étape 5.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3

Remplacez les valeurs $a = 5$ , $b = 6 - y$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- (6 - y) \pm \sqrt{{(6 - y)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 1)}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 1 \cdot 6 + y \pm \sqrt{{(6 - y)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{{(6 - y)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.3

Multipliez $- - y$ .

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Étape 5.4.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 6 + 1 y \pm \sqrt{{(6 - y)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{{(6 - y)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.4

Réécrivez ${(6 - y)}^{2}$ comme $(6 - y) (6 - y)$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{(6 - y) (6 - y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.5

Développez $(6 - y) (6 - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{6 (6 - y) - y (6 - y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{6 \cdot 6 + 6 (- y) - y (6 - y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{6 \cdot 6 + 6 (- y) - y \cdot 6 - y (- y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.6.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 + 6 (- y) - y \cdot 6 - y (- y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - y \cdot 6 - y (- y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.6.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - 6 y - y (- y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.6.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - 6 y - 1 \cdot (- 1 y \cdot y) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.6.1.5

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.1.6.1.5.1

Déplacez $y$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - 6 y - 1 \cdot (- 1 (y \cdot y)) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.6.1.5.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - 6 y - 1 \cdot (- 1 y^{2}) - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - 6 y + 1 y^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.6.1.7

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 6 y - 6 y + y^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.6.2

Soustrayez $6 y$ de $- 6 y$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 12 y + y^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.7

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 1$ .

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Étape 5.4.1.7.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 12 y + y^{2} - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.7.2

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{36 - 12 y + y^{2} - 20}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.8

Soustrayez $20$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{- 12 y + y^{2} + 16}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.1.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{y^{2} - 12 y + 16}}{2 \cdot 5}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{- 6 + y \pm \sqrt{y^{2} - 12 y + 16}}{10}$

Étape 5.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{6 - y - \sqrt{y^{2} - 12 y + 16}}{10}$

$x = - \frac{6 - y + \sqrt{y^{2} - 12 y + 16}}{10}$

$x = - \frac{6 - y - \sqrt{y^{2} - 12 y + 16}}{10}$

$x = - \frac{6 - y + \sqrt{y^{2} - 12 y + 16}}{10}$