Ensembles finis Exemples

$y^{3} + 3 y^{2} = 25 y + 75$

Étape 1

Soustrayez $25 y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} + 3 y^{2} - 25 y = 75$

Étape 2

Soustrayez $75$ des deux côtés de l’équation.

$y^{3} + 3 y^{2} - 25 y - 75 = 0$

Étape 3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(y^{3} + 3 y^{2}) - 25 y - 75 = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y^{2} (y + 3) - 25 (y + 3) = 0$

Étape 3.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y + 3$ .

$(y + 3) (y^{2} - 25) = 0$

Étape 3.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(y + 3) (y^{2} - 5^{2}) = 0$

Étape 3.4

Factorisez.

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Étape 3.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 5$ .

$(y + 3) ((y + 5) (y - 5)) = 0$

Étape 3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(y + 3) (y + 5) (y - 5) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y + 3 = 0$

$y + 5 = 0$

$y - 5 = 0$

Étape 5

Définissez $y + 3$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Définissez $y + 3$ égal à $0$ .

$y + 3 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 3$

Étape 6

Définissez $y + 5$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 6.1

Définissez $y + 5$ égal à $0$ .

$y + 5 = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 5$

Étape 7

Définissez $y - 5$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Définissez $y - 5$ égal à $0$ .

$y - 5 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 5$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y + 3) (y + 5) (y - 5) = 0$ vraie.

$y = - 3, - 5, 5$