Ensembles finis Exemples

$x^{2} - 2 x - 14 + y^{2} - 2 y = 0$

Étape 1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = x^{2} - 2 x - 14$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 x - 14))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (x^{2} - 2 x - 14)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 8 x - 4 \cdot - 14}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $- 4$ par $- 14$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 x^{2} + 8 x + 56}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.5

Additionnez $4$ et $56$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6

Réécrivez $- 4 x^{2} + 8 x + 60$ en forme factorisée.

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Étape 3.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2} + 8 x + 60$ .

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Étape 3.1.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 8 x + 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (2 x) + 60}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2}) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x) + 4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{2} + 2 x) + 4 (15)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1.6.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 15 = - 15$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 3.1.6.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 2 (x) + 15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 3$ plus $5$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (- 3 + 5) x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 3 x + 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.6.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} - 3 x) + 5 x + 15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (x (- x - 3) - 5 (- x - 3))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.6.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 3$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 ((- x - 3) (x - 5))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- x - 3) (x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7

Réécrivez $4 (- x - 3) (x - 5)$ comme $2^{2} ((- x - 3) (x - 5))$ .

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Étape 3.1.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- x - 3) (x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.7.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- x - 3) (x - 5))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}$

Étape 4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 1 + \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}$

$y = 1 - \sqrt{(- x - 3) (x - 5)}$