Ensembles finis Exemples

$\sqrt{4 y + 20} - v y - 4 = 6$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{4 y + 20}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $v y$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{4 y + 20} - 4 = 6 + v y$

Étape 1.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{4 y + 20} = 6 + v y + 4$

Étape 1.3

Additionnez $6$ et $4$ .

$\sqrt{4 y + 20} = v y + 10$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 y + 20}}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 y + 20}$ comme ${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(v y + 10)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(v y + 10)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 y + 20)}^{1} = {(v y + 10)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$4 y + 20 = {(v y + 10)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(v y + 10)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(v y + 10)}^{2}$ comme $(v y + 10) (v y + 10)$ .

$4 y + 20 = (v y + 10) (v y + 10)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(v y + 10) (v y + 10)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 20 = v y (v y + 10) + 10 (v y + 10)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y + 10)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y + 20 = v y (v y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.1.1

Déplacez $v$ .

$4 y + 20 = v \cdot v y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Étape 3.3.1.3.1.1.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$4 y + 20 = v^{2} y \cdot y + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$4 y + 20 = v^{2} (y \cdot y) + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + v y \cdot 10 + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Étape 3.3.1.3.1.3

Déplacez $10$ à gauche de $v y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 \cdot (v y) + 10 (v y) + 10 \cdot 10$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $10$ par $10$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 10 v y + 10 v y + 100$

Étape 3.3.1.3.2

Additionnez $10 v y$ et $10 v y$ .

$4 y + 20 = v^{2} y^{2} + 20 v y + 100$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 = 4 y + 20$

Étape 4.2

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y = 20$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$v^{2} y^{2} + 20 v y + 100 - 4 y - 20 = 0$

Étape 4.3.2

Soustrayez $20$ de $100$ .

$v^{2} y^{2} + 20 v y - 4 y + 80 = 0$

Étape 4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs $a = v^{2}$ , $b = 20 v - 4$ et $c = 80$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (20 v - 4) \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (20 v) + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.2

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot v^{2} \cdot 80}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(20 v - 4)}^{2} - 4 \cdot (v^{2} \cdot 80)}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.5

Laissez $u = v^{2} \cdot 80$ . Remplacez toutes les occurrences de $v^{2} \cdot 80$ par $u$ .

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Étape 4.6.5.1

Réécrivez ${(20 v - 4)}^{2}$ comme $(20 v - 4) (20 v - 4)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{(20 v - 4) (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.5.2

Développez $(20 v - 4) (20 v - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.6.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v - 4) - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v - 4) - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 v (20 v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.6.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v \cdot v) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.5.3.1.2

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.5.3.1.2.1

Déplacez $v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 (v \cdot v)) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.5.3.1.2.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{20 \cdot (20 v^{2}) + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.5.3.1.3

Multipliez $20$ par $20$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} + 20 v \cdot - 4 - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.5.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $20$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 4 (20 v) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.5.3.1.5

Multipliez $20$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.5.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 80 v - 80 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.5.3.2

Soustrayez $80 v$ de $- 80 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 \cdot u}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.6

Factorisez $4$ à partir de $400 v^{2} - 160 v + 16 - 4 u$ .

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Étape 4.6.6.1

Factorisez $4$ à partir de $400 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) - 160 v + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 160 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 16 - 4 u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.6.3

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) - 4 u}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (100 v^{2}) + 4 (- 40 v)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (100 v^{2} - 40 v) + 4 (4)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (100 v^{2} - 40 v + 4) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - u)}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v^{2} \cdot 80$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (v^{2} \cdot 80))}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.8

Simplifiez

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Étape 4.6.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.8.1.1

Déplacez $80$ à gauche de $v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - (80 \cdot v^{2}))}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.8.1.2

Multipliez $80$ par $- 1$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (100 v^{2} - 40 v + 4 - 80 v^{2})}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.8.2

Soustrayez $80 v^{2}$ de $100 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (20 v^{2} - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.9

Factorisez $4$ à partir de $20 v^{2} - 40 v + 4$ .

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Étape 4.6.9.1

Factorisez $4$ à partir de $20 v^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) - 40 v + 4)}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.9.2

Factorisez $4$ à partir de $- 40 v$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4)}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.9.3

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.9.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (5 v^{2}) + 4 (- 10 v)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1))}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.9.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (5 v^{2} - 10 v) + 4 (1)$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 (5 v^{2} - 10 v + 1))}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.10

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{16 (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.11

Réécrivez $16 (5 v^{2} - 10 v + 1)$ comme ${(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)$ .

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Étape 4.6.11.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{4^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.11.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (5 v^{2} - 10 v + 1)}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 2^{2} \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

Étape 4.6.13

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 20 v + 4 \pm 4 \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1}}{2 v^{2}}$

Étape 4.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 - \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$

$y = - \frac{2 (5 v - 1 + \sqrt{5 v^{2} - 10 v + 1})}{v^{2}}$