Ensembles finis Exemples

$\sqrt{2 y} + 6 + 7 = y + 6$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{2 y}$ .

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Étape 1.1

Additionnez $6$ et $7$ .

$\sqrt{2 y} + 13 = y + 6$

Étape 1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{2 y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.1

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{2 y} = y + 6 - 13$

Étape 1.2.2

Soustrayez $13$ de $6$ .

$\sqrt{2 y} = y - 7$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 y}}^{2} = {(y - 7)}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 y}$ comme ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y - 7)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 7)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y - 7)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y)}^{1} = {(y - 7)}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$2 y = {(y - 7)}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(y - 7)}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(y - 7)}^{2}$ comme $(y - 7) (y - 7)$ .

$2 y = (y - 7) (y - 7)$

Étape 3.3.1.2

Développez $(y - 7) (y - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y = y (y - 7) - 7 (y - 7)$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 y = y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 (y - 7)$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y = y \cdot y + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 y = y^{2} + y \cdot - 7 - 7 y - 7 \cdot - 7$

Étape 3.3.1.3.1.2

Déplacez $- 7$ à gauche de $y$ .

$2 y = y^{2} - 7 \cdot y - 7 y - 7 \cdot - 7$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$2 y = y^{2} - 7 y - 7 y + 49$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $7 y$ de $- 7 y$ .

$2 y = y^{2} - 14 y + 49$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$y^{2} - 14 y + 49 = 2 y$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 14 y + 49 - 2 y = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $2 y$ de $- 14 y$ .

$y^{2} - 16 y + 49 = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 16$ et $c = 49$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $- 16$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $49$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 196}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Soustrayez $196$ de $256$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 4.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{16 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$y = 8 \pm \sqrt{15}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 8 + \sqrt{15}, 8 - \sqrt{15}$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sqrt{2 y} + 6 + 7 = y + 6$ vrai.

$y = 8 + \sqrt{15}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = 8 + \sqrt{15}$

Forme décimale :

$y = 11.87298334 \dots$