Ensembles finis Exemples

$\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 2, y - 4, y + 6$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.5

Le facteur pour $y + 2$ est $y + 2$ lui-même.

$(y + 2) = y + 2$

$(y + 2)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.6

Le facteur pour $y - 4$ est $y - 4$ lui-même.

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.7

Le facteur pour $y + 6$ est $y + 6$ lui-même.

$(y + 6) = y + 6$

$(y + 6)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.8

Le plus petit multiple commun de $y + 2, y - 4, y + 6$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(y + 2) (y - 4) (y + 6)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ par $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4}{y + 2} - \frac{2}{y - 4} = \frac{6}{y + 6}$ par $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $y + 2$ à partir de $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{y + 2} ((y + 2) ((y - 4) (y + 6))) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$4 ((y - 4) (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.2

Développez $(y - 4) (y + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (y (y + 6) - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 (y + 6)) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 (y \cdot y + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$4 (y^{2} + y \cdot 6 - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.3.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $y$ .

$4 (y^{2} + 6 \cdot y - 4 y - 4 \cdot 6) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$4 (y^{2} + 6 y - 4 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.3.2

Soustrayez $4 y$ de $6 y$ .

$4 (y^{2} + 2 y - 24) - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} + 4 (2 y) + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.2.1.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$4 y^{2} + 8 y + 4 \cdot - 24 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.5.2

Multipliez $4$ par $- 24$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - \frac{2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $y - 4$ .

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Étape 2.2.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{y - 4}$ dans le numérateur.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y + 2) (y - 4) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.6.2

Factorisez $y - 4$ à partir de $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$4 y^{2} + 8 y - 96 + \frac{- 2}{y - 4} ((y - 4) ((y + 2) (y + 6))) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 ((y + 2) (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.7

Développez $(y + 2) (y + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y (y + 6) + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 (y + 6)) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y \cdot y + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.8.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + y \cdot 6 + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.8.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 6) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.8.1.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 6 y + 2 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.8.2

Additionnez $6 y$ et $2 y$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 (y^{2} + 8 y + 12) = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 2 (8 y) - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.10

Simplifiez

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Étape 2.2.1.10.1

Multipliez $8$ par $- 2$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 2 \cdot 12 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.1.10.2

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$4 y^{2} + 8 y - 96 - 2 y^{2} - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.2.1

Soustrayez $2 y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$2 y^{2} + 8 y - 96 - 16 y - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $16 y$ de $8 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 96 - 24 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.2.2.3

Soustrayez $24$ de $- 96$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 2) (y - 4) (y + 6))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $y + 6$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $y + 6$ à partir de $(y + 2) (y - 4) (y + 6)$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = \frac{6}{y + 6} ((y + 6) ((y + 2) (y - 4)))$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 ((y + 2) (y - 4))$

Étape 2.3.2

Développez $(y + 2) (y - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y (y - 4) + 2 (y - 4))$

Étape 2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 (y - 4))$

Étape 2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y \cdot y + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Étape 2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} + y \cdot - 4 + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Étape 2.3.3.1.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 4)$

Étape 2.3.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 4 y + 2 y - 8)$

Étape 2.3.3.2

Additionnez $- 4 y$ et $2 y$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 (y^{2} - 2 y - 8)$

Étape 2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} + 6 (- 2 y) + 6 \cdot - 8$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y + 6 \cdot - 8$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $6$ par $- 8$ .

$2 y^{2} - 8 y - 120 = 6 y^{2} - 12 y - 48$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $6 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} = - 12 y - 48$

Étape 3.1.2

Ajoutez $12 y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y^{2} - 8 y - 120 - 6 y^{2} + 12 y = - 48$

Étape 3.1.3

Soustrayez $6 y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} - 8 y - 120 + 12 y = - 48$

Étape 3.1.4

Additionnez $- 8 y$ et $12 y$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 = - 48$

Étape 3.2

Ajoutez $48$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 y^{2} + 4 y - 120 + 48 = 0$

Étape 3.3

Additionnez $- 120$ et $48$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 y^{2} + 4 y - 72$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + 4 y - 72 = 0$

Étape 3.4.2

Factorisez $- 4$ à partir de $4 y$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 72 = 0$

Étape 3.4.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 72$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- y) - 4 \cdot 18 = 0$

Étape 3.4.4

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 (y^{2}) - 4 (- y)$ .

$- 4 (y^{2} - y) - 4 \cdot 18 = 0$

Étape 3.4.5

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 (y^{2} - y) - 4 (18)$ .

$- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $- 4 (y^{2} - y + 18) = 0$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 (y^{2} - y + 18)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y^{2} - y + 18$ par $1$ .

$y^{2} - y + 18 = \frac{0}{- 4}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Divisez $0$ par $- 4$ .

$y^{2} - y + 18 = 0$

Étape 3.6

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.7

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 18$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 18)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 18$ .

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Étape 3.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $18$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.3

Soustrayez $72$ de $1$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.4

Réécrivez $- 71$ comme $- 1 (71)$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (71)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2}$

Étape 3.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{1 + i \sqrt{71}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{71}}{2}$