Ensembles finis Exemples

$2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$

Étape 1

Déterminez un facteur commun $y^{\frac{2}{5}}$ présent dans chaque terme.

$2 {(y^{\frac{2}{5}})}^{6} - 17 {(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{7}{2}} + 35 y^{\frac{2}{5}}$

Étape 2

Remplacez $y^{\frac{2}{5}}$ par $u$ .

$2 {(u)}^{6} - 17 {(u)}^{\frac{7}{2}} + 35 (u) = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Factorisez $u$ à partir de $2 u^{6} - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $u$ à partir de $2 u^{6}$ .

$u (2 u^{5}) - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u = 0$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $u$ à partir de $- 17 u^{\frac{7}{2}}$ .

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + 35 u = 0$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $u$ à partir de $35 u$ .

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

Étape 3.1.1.4

Factorisez $u$ à partir de $u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}})$ .

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

Étape 3.1.1.5

Factorisez $u$ à partir de $u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35$ .

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $u^{5}$ comme ${(u^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

$u (2 {(u^{\frac{5}{2}})}^{2} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

Étape 3.1.3

Laissez $u = u^{\frac{5}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de $u^{\frac{5}{2}}$ par $u$ .

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1.4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 35 = 70$ et dont la somme est $b = - 17$ .

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Étape 3.1.4.1.1

Factorisez $- 17$ à partir de $- 17 u$ .

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

Étape 3.1.4.1.2

Réécrivez $- 17$ comme $- 7$ plus $- 10$

$u (2 u^{2} + (- 7 - 10) u + 35) = 0$

Étape 3.1.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$u (2 u^{2} - 7 u - 10 u + 35) = 0$

Étape 3.1.4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$u ((2 u^{2} - 7 u) - 10 u + 35) = 0$

Étape 3.1.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (u (2 u - 7) - 5 (2 u - 7)) = 0$

Étape 3.1.4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 7$ .

$u ((2 u - 7) (u - 5)) = 0$

Étape 3.1.5

Factorisez.

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Étape 3.1.5.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $u^{\frac{5}{2}}$ .

$u ((2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5)) = 0$

Étape 3.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

Étape 3.3

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 3.4

Définissez $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ égal à $0$ .

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.4.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u^{\frac{5}{2}} = 7$

Étape 3.4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{5}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez ${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 u^{\frac{5}{2}}$ .

$2^{\frac{2}{5}} {(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 3.4.2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.4.2.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.4.2.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.4.2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.4.2.3.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{2}{5}} u^{1} = 7^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.4.2.3.1.3

Simplifiez

$2^{\frac{2}{5}} u = 7^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.4.2.3.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2^{\frac{2}{5}} u$ .

$u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.4.2.4

Divisez chaque terme dans $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ par $2^{\frac{2}{5}}$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.4.1

Divisez chaque terme dans $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ par $2^{\frac{2}{5}}$ .

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 3.4.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 3.4.2.4.2.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

Étape 3.5

Définissez $u^{\frac{5}{2}} - 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $u^{\frac{5}{2}} - 5$ égal à $0$ .

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{\frac{5}{2}} = 5$

Étape 3.5.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{5}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.5.2.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.5.2.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.5.2.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.5.2.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$u^{1} = 5^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Simplifiez

$u = 5^{\frac{2}{5}}$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$ vraie.

$u = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

Étape 4

Remplacez $u$ par $y$ .

$y^{\frac{2}{5}} = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

Étape 5

Résolvez $y^{\frac{2}{5}} = 0$ pour $y$ .

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Étape 5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez

$y = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $\pm 0^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$y = \pm {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

Étape 5.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm 0^{5}$

Étape 5.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = \pm 0$

Étape 5.2.2.1.4

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 6

Résolvez $y^{\frac{2}{5}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ pour $y$ .

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Étape 6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2.1.1.2

Simplifiez

$y = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $\pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ .

$y = \pm \frac{{(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.2.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{7^{1}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.2.2

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{7}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1.3.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 6.2.2.1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 6.2.2.1.3.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.2.1.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 6.2.2.1.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{7}{2^{1}}$

Étape 6.2.2.1.3.2

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{7}{2}$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{7}{2}$

Étape 6.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{7}{2}$

Étape 6.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}$

Étape 7

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$y = 5$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$y = 0, \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}, 5$

Étape 9

Excluez les solutions qui ne rendent pas $2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$ vrai.

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

Forme décimale :

$y = 0, 3.5, 5$

Forme de nombre mixte :

$y = 0, 3 \frac{1}{2}, 5$