Ensembles finis Exemples

$\frac{x}{3 x^{2} + 4 x - 32} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 32 = - 96$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{x}{3 x^{2} + 4 (x) - 32} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 8$ plus $12$

$\frac{x}{3 x^{2} + (- 8 + 12) x - 32} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x}{3 x^{2} - 8 x + 12 x - 32} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x}{(3 x^{2} - 8 x) + 12 x - 32} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x}{x (3 x - 8) + 4 (3 x - 8)} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Étape 1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 8$ .

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 x - 28}$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 28 = - 84$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{3 x^{2} + 5 (x) - 28}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $5$ comme $- 7$ plus $12$

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{3 x^{2} + (- 7 + 12) x - 28}$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{3 x^{2} - 7 x + 12 x - 28}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{(3 x^{2} - 7 x) + 12 x - 28}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{x (3 x - 7) + 4 (3 x - 7)}$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 7$ .

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x}{(3 x - 7) (x + 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7} - \frac{8 x}{(3 x - 7) (x + 4)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{8 x}{(3 x - 7) (x + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)} \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7} - \frac{8 x}{(3 x - 7) (x + 4)} \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(3 x - 8) (x + 4) (3 x - 7)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{(3 x - 8) (x + 4)}$ par $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$\frac{x (3 x - 7)}{(3 x - 8) (x + 4) (3 x - 7)} - \frac{8 x}{(3 x - 7) (x + 4)} \cdot \frac{3 x - 8}{3 x - 8}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{8 x}{(3 x - 7) (x + 4)}$ par $\frac{3 x - 8}{3 x - 8}$ .

$\frac{x (3 x - 7)}{(3 x - 8) (x + 4) (3 x - 7)} - \frac{8 x (3 x - 8)}{(3 x - 7) (x + 4) (3 x - 8)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(3 x - 8) (x + 4) (3 x - 7)$ .

$\frac{x (3 x - 7)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x (3 x - 8)}{(3 x - 7) (x + 4) (3 x - 8)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(3 x - 7) (x + 4) (3 x - 8)$ .

$\frac{x (3 x - 7)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)} - \frac{8 x (3 x - 8)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (3 x - 7) - 8 x (3 x - 8)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x - 7) - 8 x (3 x - 8)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x (3 x - 8)$ .

$\frac{x (3 x - 7) + x (- 8 (3 x - 8))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x (3 x - 7) + x (- 8 (3 x - 8))$ .

$\frac{x (3 x - 7 - 8 (3 x - 8))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x - 7 - 8 (3 x) - 8 \cdot - 8)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$\frac{x (3 x - 7 - 24 x - 8 \cdot - 8)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$\frac{x (3 x - 7 - 24 x + 64)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 6.5

Soustrayez $24 x$ de $3 x$ .

$\frac{x (- 21 x - 7 + 64)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 6.6

Additionnez $- 7$ et $64$ .

$\frac{x (- 21 x + 57)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 6.7

Factorisez $3$ à partir de $- 21 x + 57$ .

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Étape 6.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 21 x$ .

$\frac{x (3 (- 7 x) + 57)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 6.7.2

Factorisez $3$ à partir de $57$ .

$\frac{x (3 (- 7 x) + 3 (19))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 6.7.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 7 x) + 3 (19)$ .

$\frac{x (3 (- 7 x + 19))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

$\frac{x \cdot 3 (- 7 x + 19)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 \cdot x (- 7 x + 19)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 x$ .

$\frac{3 x (- (7 x) + 19)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 7.3

Réécrivez $19$ comme $- 1 (- 19)$ .

$\frac{3 x (- (7 x) - 1 (- 19))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 7.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 x) - 1 (- 19)$ .

$\frac{3 x (- (7 x - 19))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.5.1

Réécrivez $- (7 x - 19)$ comme $- 1 (7 x - 19)$ .

$\frac{3 x (- 1 (7 x - 19))}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 7.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(3 x) (7 x - 19)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$

Étape 7.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(3 x) (7 x - 19)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$ .

$- \frac{3 x (7 x - 19)}{(3 x - 7) (3 x - 8) (x + 4)}$