Ensembles finis Exemples

$\frac{x + 5}{x^{2} + x - 12} - \frac{x - 7}{x^{2} + 7 x + 12}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} - \frac{x - 7}{x^{2} + 7 x + 12}$

Étape 1.2

Factorisez $x^{2} + 7 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $7$ .

$3, 4$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 3) (x + 4) (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x - 3) (x + 4) (x + 3)} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$ par $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x - 3) (x + 4) (x + 3)} - \frac{(x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 3) (x + 4) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)} - \frac{(x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(x + 5) (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Développez $(x + 5) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 3) + 5 (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 5 (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + 5 x + 15 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.2.2

Additionnez $3 x$ et $5 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 + (- x - - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 + (- x + 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.5

Développez $(- x + 7) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x (x - 3) + 7 (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x \cdot x - x \cdot - 3 + 7 (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x \cdot x - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.6.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 3 x + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.6.1.3

Multipliez $7$ par $- 3$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 3 x + 7 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.6.2

Additionnez $3 x$ et $7 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.7

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{8 x + 15 + 0 + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.8

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$\frac{8 x + 15 + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.9

Additionnez $8 x$ et $10 x$ .

$\frac{18 x + 15 - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.10

Soustrayez $21$ de $15$ .

$\frac{18 x - 6}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.11

Factorisez $6$ à partir de $18 x - 6$ .

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Étape 6.11.1

Factorisez $6$ à partir de $18 x$ .

$\frac{6 (3 x) - 6}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.11.2

Factorisez $6$ à partir de $- 6$ .

$\frac{6 (3 x) + 6 (- 1)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

Étape 6.11.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (3 x) + 6 (- 1)$ .

$\frac{6 (3 x - 1)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$