Ensembles finis Exemples

$\frac{x + 4}{5 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x^{2} - 30 x}{2 x^{5}}$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Factorisez $15 x$ à partir de $15 x^{2} - 30 x$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $15 x$ à partir de $15 x^{2}$ .

$\frac{x + 4}{5 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x) - 30 x}{2 x^{5}}$

Étape 1.1.2

Factorisez $15 x$ à partir de $- 30 x$ .

$\frac{x + 4}{5 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x) + 15 x (- 2)}{2 x^{5}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $15 x$ à partir de $15 x (x) + 15 x (- 2)$ .

$\frac{x + 4}{5 x + 15} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 1.2

Factorisez $5$ à partir de $5 x + 15$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\frac{x + 4}{5 (x) + 15} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $15$ .

$\frac{x + 4}{5 x + 5 \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 1.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 x + 5 \cdot 3$ .

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 6 x + 3^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 2.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{{(x + 3)}^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{{(x + 3)}^{2}}{x^{2} - 4^{2}} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 4}{5 (x + 3)} \cdot \frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 4.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5 (x + 3)} \cdot \frac{{(x + 3)}^{2}}{x - 4} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x + 3$ à partir de $5 (x + 3)$ .

$\frac{1}{(x + 3) \cdot 5} \cdot \frac{{(x + 3)}^{2}}{x - 4} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 4.2.2

Factorisez $x + 3$ à partir de ${(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{1}{(x + 3) \cdot 5} \cdot \frac{(x + 3) (x + 3)}{x - 4} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x + 3) \cdot 5} \cdot \frac{(x + 3) (x + 3)}{x - 4} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{x + 3}{x - 4}$ .

$\frac{x + 3}{5 (x - 4)} \cdot \frac{15 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $5$ à partir de $15 x (x - 2)$ .

$\frac{x + 3}{5 (x - 4)} \cdot \frac{5 (3 x (x - 2))}{2 x^{5}}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 3}{5 (x - 4)} \cdot \frac{5 (3 x (x - 2))}{2 x^{5}}$

Étape 4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 3}{x - 4} \cdot \frac{3 x (x - 2)}{2 x^{5}}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{x + 3}{x - 4}$ par $\frac{3 x (x - 2)}{2 x^{5}}$ .

$\frac{(x + 3) (3 x (x - 2))}{(x - 4) (2 x^{5})}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{5}$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $x$ à partir de $(x + 3) (3 x (x - 2))$ .

$\frac{x ((x + 3) (3 (x - 2)))}{(x - 4) (2 x^{5})}$

Étape 4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.2.1

Factorisez $x$ à partir de $(x - 4) (2 x^{5})$ .

$\frac{x ((x + 3) (3 (x - 2)))}{x ((x - 4) (2 x^{4}))}$

Étape 4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x ((x + 3) (3 (x - 2)))}{x ((x - 4) (2 x^{4}))}$

Étape 4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 3) (3 (x - 2))}{(x - 4) (2 x^{4})}$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.1

Déplacez $3$ à gauche de $x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3) (x - 2)}{(x - 4) \cdot 2 x^{4}}$

Étape 4.7.2

Déplacez $2$ à gauche de $x - 4$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3) (x - 2)}{2 \cdot (x - 4) x^{4}}$

Étape 4.7.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{3 (x + 3) (x - 2)}{2 (x - 4) x^{4}}$ .

$\frac{3 (x + 3) (x - 2)}{2 x^{4} (x - 4)}$