Ensembles finis Exemples

$1 + \frac{1}{\frac{z}{z - \frac{1}{z}}}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 + 1 \frac{z - \frac{1}{z}}{z}$

Étape 1.1.2

Multipliez $\frac{z - \frac{1}{z}}{z}$ par $1$ .

$1 + \frac{z - \frac{1}{z}}{z}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.1

Pour écrire $z$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z}{z}$ .

$1 + \frac{\frac{z \cdot z}{z} - \frac{1}{z}}{z}$

Étape 1.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{\frac{z \cdot z - 1}{z}}{z}$

Étape 1.1.3.3

Réécrivez $\frac{z \cdot z - 1}{z}$ en forme factorisée.

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Étape 1.1.3.3.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\frac{z^{1} z - 1}{z}}{z}$

Étape 1.1.3.3.2

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\frac{z^{1} z^{1} - 1}{z}}{z}$

Étape 1.1.3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{\frac{z^{1 + 1} - 1}{z}}{z}$

Étape 1.1.3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{\frac{z^{2} - 1}{z}}{z}$

Étape 1.1.3.3.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1 + \frac{\frac{z^{2} - 1^{2}}{z}}{z}$

Étape 1.1.3.3.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = z$ et $b = 1$ .

$1 + \frac{\frac{(z + 1) (z - 1)}{z}}{z}$

Étape 1.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$

Étape 1.1.5

Multipliez $\frac{(z + 1) (z - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$ .

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $\frac{(z + 1) (z - 1)}{z}$ par $\frac{1}{z}$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z \cdot z}$

Étape 1.1.5.2

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1} z}$

Étape 1.1.5.3

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1} z^{1}}$

Étape 1.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{1 + 1}}$

Étape 1.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

Étape 1.2

Associez en une fraction.

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Étape 1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{z^{2}}{z^{2}} + \frac{(z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

Étape 1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{z^{2} + (z + 1) (z - 1)}{z^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Développez $(z + 1) (z - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z^{2} + z (z - 1) + 1 (z - 1)}{z^{2}}$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z^{2} + z \cdot z + z \cdot - 1 + 1 (z - 1)}{z^{2}}$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z^{2} + z \cdot z + z \cdot - 1 + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} + z \cdot - 1 + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Étape 2.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - 1 \cdot z + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez $- 1 z$ comme $- z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + 1 z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $z$ par $1$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + z + 1 \cdot - 1}{z^{2}}$

Étape 2.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - z + z - 1}{z^{2}}$

Étape 2.2.2

Additionnez $- z$ et $z$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} + 0 - 1}{z^{2}}$

Étape 2.2.3

Additionnez $z^{2}$ et $0$ .

$\frac{z^{2} + z^{2} - 1}{z^{2}}$

Étape 2.3

Additionnez $z^{2}$ et $z^{2}$ .

$\frac{2 z^{2} - 1}{z^{2}}$