Ensembles finis Exemples

$(\frac{3}{4} r - \frac{2}{3} s) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $r$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2}{3} s) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Étape 1.1.2

Associez $s$ et $\frac{2}{3}$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{s \cdot 2}{3}) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Étape 1.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $s$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5}{4} r + \frac{1}{3} s)$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Associez $\frac{5}{4}$ et $r$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{1}{3} s)$

Étape 1.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $s$ .

$(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

Étape 2

Développez $(\frac{3 r}{4} - \frac{2 s}{3}) (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 r}{4} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3}) - \frac{2 s}{3} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} (\frac{5 r}{4} + \frac{s}{3})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{3 r}{4} \cdot \frac{5 r}{4}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{3 r}{4}$ par $\frac{5 r}{4}$ .

$\frac{3 r (5 r)}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 r \cdot r}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.1.3

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 (r^{1} r)}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.1.4

Élevez $r$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 (r^{1} r^{1})}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 r^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{4 \cdot 4} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.1.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 r$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 (r)}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{3 r}{4} \cdot \frac{s}{3} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r}{4} s - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.3

Associez $\frac{r}{4}$ et $s$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 s}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 2 s}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 s$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{4} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{2 (2)} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{2 (- s)}{3} \cdot \frac{5 r}{2 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- s}{3} \cdot \frac{5 r}{2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.5

Multipliez $\frac{- s}{3}$ par $\frac{5 r}{2}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- s (5 r)}{3 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 5 s r}{3 \cdot 2} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.7

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} + \frac{- 5 s r}{6} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$

Étape 3.1.9

Multipliez $- \frac{2 s}{3} \cdot \frac{s}{3}$ .

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Étape 3.1.9.1

Multipliez $\frac{s}{3}$ par $\frac{2 s}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{s (2 s)}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.9.2

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 (s^{1} s)}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.9.3

Élevez $s$ à la puissance $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 (s^{1} s^{1})}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{1 + 1}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{2}}{3 \cdot 3}$

Étape 3.1.9.6

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 s r}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.2

Soustrayez $\frac{5 s r}{6}$ de $\frac{r s}{4}$ .

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Étape 3.2.1

Déplacez $s$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} - \frac{5 r s}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.2.2

Pour écrire $\frac{r s}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 r s}{6} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.2.3

Pour écrire $- \frac{5 r s}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $\frac{r s}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s}{6} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.2.4.3

Multipliez $\frac{5 r s}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.2.4.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3}{12} - \frac{5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15 r^{2}}{16} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.3

Pour écrire $\frac{15 r^{2}}{16}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} \cdot \frac{3}{3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.4

Pour écrire $\frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 r^{2}}{16} \cdot \frac{3}{3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $48$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{15 r^{2}}{16}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{16 \cdot 3} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.5.2

Multipliez $16$ par $3$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12} \cdot \frac{4}{4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.5.3

Multipliez $\frac{r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2}{12}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{(r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{12 \cdot 4} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.5.4

Multipliez $12$ par $4$ .

$\frac{15 r^{2} \cdot 3}{48} + \frac{(r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{15 r^{2} \cdot 3 + (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2) \cdot 4}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 \cdot 15 r^{2} + 4 (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2)}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.8

Associez $\frac{3 \cdot 15 r^{2} + 4 (r s \cdot 3 - 5 r s \cdot 2)}{48}$ et $- \frac{2 s^{2}}{9}$ en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 3.8.1

Remettez dans l’ordre $3 \cdot 15 r^{2}$ et $4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s)$ .

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.8.2

Pour écrire $\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 s^{2}}{9}$

Étape 3.8.3

Pour écrire $- \frac{2 s^{2}}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Étape 3.8.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $144$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.8.4.1

Multipliez $\frac{4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}}{48}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{48 \cdot 3} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Étape 3.8.4.2

Multipliez $48$ par $3$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2}}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Étape 3.8.4.3

Multipliez $\frac{2 s^{2}}{9}$ par $\frac{16}{16}$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2} \cdot 16}{9 \cdot 16}$

Étape 3.8.4.4

Multipliez $9$ par $16$ .

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3}{144} - \frac{2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Étape 3.8.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(4 (3 \cdot r s - 5 \cdot 2 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{(4 (3 r s - 10 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Étape 4.1.2

Soustrayez $10 r s$ de $3 r s$ .

$\frac{(4 (- 7 r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 7$ par $4$ .

$\frac{(- 28 (r s) + 3 \cdot 15 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Étape 4.1.4

Multipliez $3$ par $15$ .

$\frac{(- 28 r s + 45 r^{2}) \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 28 r s \cdot 3 + 45 r^{2} \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Étape 4.3

Multipliez $3$ par $- 28$ .

$\frac{- 84 r s + 45 r^{2} \cdot 3 - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Étape 4.4

Multipliez $3$ par $45$ .

$\frac{- 84 r s + 135 r^{2} - 2 s^{2} \cdot 16}{144}$

Étape 4.5

Multipliez $16$ par $- 2$ .

$\frac{- 84 r s + 135 r^{2} - 32 s^{2}}{144}$

Étape 4.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 135 \cdot - 32 = - 4320$ et dont la somme est $b = - 84$ .

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Étape 4.6.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{135 r^{2} - 32 s^{2} - 84 r s}{144}$

Étape 4.6.1.2

Remettez dans l’ordre $- 32 s^{2}$ et $- 84 r s$ .

$\frac{135 r^{2} - 84 r s - 32 s^{2}}{144}$

Étape 4.6.1.3

Factorisez $- 84$ à partir de $- 84 r s$ .

$\frac{135 r^{2} - 84 (r s) - 32 s^{2}}{144}$

Étape 4.6.1.4

Réécrivez $- 84$ comme $36$ plus $- 120$

$\frac{135 r^{2} + (36 - 120) (r s) - 32 s^{2}}{144}$

Étape 4.6.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{135 r^{2} + 36 (r s) - 120 (r s) - 32 s^{2}}{144}$

Étape 4.6.1.6

Déplacez les parenthèses.

$\frac{135 r^{2} + 36 r s - 120 r s - 32 s^{2}}{144}$

Étape 4.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(135 r^{2} + 36 r s) - 120 r s - 32 s^{2}}{144}$

Étape 4.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{9 r (15 r + 4 s) - 8 s (15 r + 4 s)}{144}$

Étape 4.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $15 r + 4 s$ .

$\frac{(15 r + 4 s) (9 r - 8 s)}{144}$