Ensembles finis Exemples

$\frac{(a^{2} + 3 a - 54) \cdot (a^{2} - 9 a - 10)}{(a^{2} + 4 a - 60) \cdot (a^{2} + 10 a + 9)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Factorisez $a^{2} + 3 a - 54$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 54$ et dont la somme est $3$ .

$- 6, 9$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 6) (a + 9) (a^{2} - 9 a - 10)}{(a^{2} + 4 a - 60) \cdot (a^{2} + 10 a + 9)}$

Étape 1.2

Factorisez $a^{2} - 9 a - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 10, 1$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 6) (a + 9) ((a - 10) (a + 1))}{(a^{2} + 4 a - 60) \cdot (a^{2} + 10 a + 9)}$

$\frac{(a - 6) (a + 9) (a - 10) (a + 1)}{(a^{2} + 4 a - 60) \cdot (a^{2} + 10 a + 9)}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $a^{2} + 4 a - 60$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 60$ et dont la somme est $4$ .

$- 6, 10$

Étape 2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 6) (a + 9) (a - 10) (a + 1)}{(a - 6) (a + 10) (a^{2} + 10 a + 9)}$

Étape 2.2

Factorisez $a^{2} + 10 a + 9$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $9$ et dont la somme est $10$ .

$1, 9$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(a - 6) (a + 9) (a - 10) (a + 1)}{(a - 6) (a + 10) ((a + 1) (a + 9))}$

$\frac{(a - 6) (a + 9) (a - 10) (a + 1)}{(a - 6) (a + 10) (a + 1) (a + 9)}$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $a - 6$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 6) (a + 9) (a - 10) (a + 1)}{(a - 6) (a + 10) (a + 1) (a + 9)}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{((a + 9) (a - 10)) (a + 1)}{((a + 10) (a + 1)) (a + 9)}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $a + 9$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a + 9) (a - 10) (a + 1)}{(a + 10) (a + 1) (a + 9)}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(a - 10) (a + 1)}{(a + 10) (a + 1)}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $a + 1$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(a - 10) (a + 1)}{(a + 10) (a + 1)}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{a - 10}{a + 10}$