Ensembles finis Exemples

$\frac{- x^{3} + x}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3} + x$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{x (- x^{2}) + x}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (- x^{2}) + x^{1}}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x (- x^{2}) + x \cdot 1}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{2}) + x \cdot 1$ .

$\frac{x (- x^{2} + 1)}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x (- x^{2} + 1^{2})}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.1.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $1^{2}$ .

$\frac{x (1^{2} - x^{2})}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{x (1 + x) (1 - x)}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{13 - x^{2}}}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x)}{\sqrt{13 - x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{13 - x^{2}}}{\sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{x (1 + x) (1 - x)}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{13 - x^{2}}}{\sqrt{13 - x^{2}}}$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{\sqrt{13 - x^{2}} \sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.3.2

Élevez $\sqrt{13 - x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{\sqrt{13 - x^{2}}}^{1} \sqrt{13 - x^{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.3.3

Élevez $\sqrt{13 - x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{\sqrt{13 - x^{2}}}^{1} {\sqrt{13 - x^{2}}}^{1}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{\sqrt{13 - x^{2}}}^{1 + 1}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{\sqrt{13 - x^{2}}}^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{13 - x^{2}}}^{2}$ comme $13 - x^{2}$ .

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Étape 1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{13 - x^{2}}$ comme ${(13 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{({(13 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{(13 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{(13 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{(13 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{{(13 - x^{2})}^{1}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 1.3.6.5

Simplifiez

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{13 - x^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}}$

Étape 2

Pour écrire $12 x \sqrt{13 - x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{13 - x^{2}}{13 - x^{2}}$ .

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}}{13 - x^{2}} + \frac{12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})}{13 - x^{2}}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})}{13 - x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Factorisez $x \sqrt{13 - x^{2}}$ à partir de $x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}} + 12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $x \sqrt{13 - x^{2}}$ à partir de $x (1 + x) (1 - x) \sqrt{13 - x^{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) + 12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})}{13 - x^{2}}$

Étape 4.1.2

Factorisez $x \sqrt{13 - x^{2}}$ à partir de $12 x \sqrt{13 - x^{2}} (13 - x^{2})$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) + x \sqrt{13 - x^{2}} (12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.1.3

Factorisez $x \sqrt{13 - x^{2}}$ à partir de $x \sqrt{13 - x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) + x \sqrt{13 - x^{2}} (12 (13 - x^{2}))$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} ((1 + x) (1 - x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.2

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 (1 - x) + x (1 - x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x + x (- x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x - x \cdot x + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x - (x \cdot x) + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x + x - x^{2} + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 + 0 - x^{2} + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x^{2} + 12 (13 - x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x^{2} + 12 \cdot 13 + 12 (- x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.5

Multipliez $12$ par $13$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x^{2} + 156 + 12 (- x^{2}))}{13 - x^{2}}$

Étape 4.6

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (1 - x^{2} + 156 - 12 x^{2})}{13 - x^{2}}$

Étape 4.7

Additionnez $1$ et $156$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- x^{2} + 157 - 12 x^{2})}{13 - x^{2}}$

Étape 4.8

Soustrayez $12 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- 13 x^{2} + 157)}{13 - x^{2}}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 13 x^{2}$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- (13 x^{2}) + 157)}{13 - x^{2}}$

Étape 5.2

Réécrivez $157$ comme $- 1 (- 157)$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- (13 x^{2}) - 1 (- 157))}{13 - x^{2}}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (13 x^{2}) - 1 (- 157)$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- (13 x^{2} - 157))}{13 - x^{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $- (13 x^{2} - 157)$ comme $- 1 (13 x^{2} - 157)$ .

$\frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (- 1 (13 x^{2} - 157))}{13 - x^{2}}$

Étape 5.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x \sqrt{13 - x^{2}}) (13 x^{2} - 157)}{13 - x^{2}}$

Étape 5.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(x \sqrt{13 - x^{2}}) (13 x^{2} - 157)}{13 - x^{2}}$ .

$- \frac{x \sqrt{13 - x^{2}} (13 x^{2} - 157)}{13 - x^{2}}$