Ensembles finis Exemples

\frac{x^{2} - 48}{x^{2} + 15 x + 56} - \frac{x - 8}{x + 8}

$\frac{x^{2} - 48}{x^{2} + 15 x + 56} - \frac{x - 8}{x + 8}$

Étape 1

Factorisez

x^{2} + 15 x + 56

$x^{2} + 15 x + 56$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Étudiez la forme

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est

c

$c$ et dont la somme est

b

$b$ . Dans ce cas, dont le produit est

56

$56$ et dont la somme est

15

$15$ .

7, 8

$7, 8$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{x - 8}{x + 8}

$\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{x - 8}{x + 8}$

\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{x - 8}{x + 8}

$\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{x - 8}{x + 8}$

Étape 2

Pour écrire

- \frac{x - 8}{x + 8}

$- \frac{x - 8}{x + 8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{x + 7}{x + 7}

$\frac{x + 7}{x + 7}$ .

\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{x - 8}{x + 8} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}

$\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{x - 8}{x + 8} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

(x + 7) (x + 8)

$(x + 7) (x + 8)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

1

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez

\frac{x - 8}{x + 8}

$\frac{x - 8}{x + 8}$ par

\frac{x + 7}{x + 7}

$\frac{x + 7}{x + 7}$ .

\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{(x - 8) (x + 7)}{(x + 8) (x + 7)}

$\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{(x - 8) (x + 7)}{(x + 8) (x + 7)}$

Étape 3.2

Réorganisez les facteurs de

(x + 8) (x + 7)

$(x + 8) (x + 7)$ .

\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{(x - 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{(x - 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}$

\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{(x - 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48}{(x + 7) (x + 8)} - \frac{(x - 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{x^{2} - 48 - (x - 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 - (x - 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{x^{2} - 48 + (- x - - 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 + (- x - - 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 8

$- 8$ .

\frac{x^{2} - 48 + (- x + 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 + (- x + 8) (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.3

Développez

(- x + 8) (x + 7)

$(- x + 8) (x + 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{x^{2} - 48 - x (x + 7) + 8 (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 - x (x + 7) + 8 (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

\frac{x^{2} - 48 - x \cdot x - x \cdot 7 + 8 (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 - x \cdot x - x \cdot 7 + 8 (x + 7)}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

\frac{x^{2} - 48 - x \cdot x - x \cdot 7 + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 - x \cdot x - x \cdot 7 + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}$

\frac{x^{2} - 48 - x \cdot x - x \cdot 7 + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 - x \cdot x - x \cdot 7 + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1

Multipliez

x

$x$ par

x

$x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1.1

Déplacez

x

$x$ .

\frac{x^{2} - 48 - (x \cdot x) - x \cdot 7 + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 - (x \cdot x) - x \cdot 7 + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.4.1.1.2

Multipliez

x

$x$ par

x

$x$ .

\frac{x^{2} - 48 - x^{2} - x \cdot 7 + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 - x^{2} - x \cdot 7 + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}$

\frac{x^{2} - 48 - x^{2} - x \cdot 7 + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 - x^{2} - x \cdot 7 + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.4.1.2

Multipliez

7

$7$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{x^{2} - 48 - x^{2} - 7 x + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 - x^{2} - 7 x + 8 x + 8 \cdot 7}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.4.1.3

Multipliez

8

$8$ par

7

$7$ .

\frac{x^{2} - 48 - x^{2} - 7 x + 8 x + 56}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 - x^{2} - 7 x + 8 x + 56}{(x + 7) (x + 8)}$

\frac{x^{2} - 48 - x^{2} - 7 x + 8 x + 56}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 - x^{2} - 7 x + 8 x + 56}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.4.2

Additionnez

- 7 x

$- 7 x$ et

8 x

$8 x$ .

\frac{x^{2} - 48 - x^{2} + x + 56}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 - x^{2} + x + 56}{(x + 7) (x + 8)}$

\frac{x^{2} - 48 - x^{2} + x + 56}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x^{2} - 48 - x^{2} + x + 56}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.5

Soustrayez

x^{2}

$x^{2}$ de

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{0 - 48 + x + 56}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{0 - 48 + x + 56}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.6

Soustrayez

48

$48$ de

0

$0$ .

\frac{- 48 + x + 56}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{- 48 + x + 56}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 5.7

Additionnez

- 48

$- 48$ et

56

$56$ .

\frac{x + 8}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x + 8}{(x + 7) (x + 8)}$

\frac{x + 8}{(x + 7) (x + 8)}

$\frac{x + 8}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de

x + 8

$x + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 8}{(x + 7) (x + 8)}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x + 7}$