Ensembles finis Exemples

$\frac{x^{2} + 3 x - 10}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + 3 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $3$ .

$- 2, 5$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 5)}{x^{2} - 3 x + 2} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 5)}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 5)}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{x^{2} + 2 x - 15}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 2) (x + 5)}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 3) (x + 5)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x - 2) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 3) (x + 5)}$

Étape 5.1.2

Factorisez $x + 5$ à partir de $(x - 3) (x + 5)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x + 5) (x - 3)}$

Étape 5.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) (x - 2)}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x + 5) (x - 3)}$

Étape 5.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2}{(x - 2) (x - 1)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 2) (x - 1)$ .

$\frac{x - 2}{(x - 1) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 2}{(x - 1) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x - 3}$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{x - 2}{x - 2}$ par $\frac{x + 2}{x - 3}$ .

$\frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x - 3)}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x - 3)}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 2}{x - 3}$