Ensembles finis Exemples

$\frac{e^{4 t} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez $e^{4 t}$ comme ${(e^{2 t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $e^{2 t}$ comme ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 1.1.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 e^{3 t} = 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t}$

Étape 1.1.4

Réécrivez le polynôme.

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 1.1.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = e^{2 t}$ et $b = e^{t}$ .

$\frac{{(e^{2 t} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 1.2

Réécrivez $e^{2 t}$ comme ${(e^{t})}^{2}$ .

$\frac{{({(e^{t})}^{2} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 1.3

Laissez $u = e^{t}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{t}$ par $u$ .

$\frac{{(u^{2} + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 1.4

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} + u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 1.4.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(u \cdot u + u^{1})}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 1.4.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$\frac{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 1.4.4

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot 1$ .

$\frac{{(u (u + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{t}$ .

$\frac{{(e^{t} (e^{t} + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 1.6

Appliquez la règle de produit à $e^{t} (e^{t} + 1)$ .

$\frac{{(e^{t})}^{2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 1.7

Multipliez les exposants dans ${(e^{t})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{t \cdot 2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 1.7.2

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

Étape 2.1.2

Divisez ${(e^{t} + 1)}^{2}$ par $1$ .

${(e^{t} + 1)}^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez ${(e^{t} + 1)}^{2}$ comme $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$

Étape 3

Développez $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1)$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1)$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $e^{t}$ par $e^{t}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Étape 4.1.1.2

Additionnez $t$ et $t$ .

$e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Étape 4.1.2

Multipliez $e^{t}$ par $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

Étape 4.1.3

Multipliez $e^{t}$ par $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1$

Étape 4.2

Additionnez $e^{t}$ et $e^{t}$ .

$e^{2 t} + 2 e^{t} + 1$