Ensembles finis Exemples

$\frac{\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x (x^{2} - 16)}}{\frac{x^{2} + 4 x + 4}{9 x^{2}}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x (x^{2} - 16)} \cdot \frac{9 x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $3 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $3 x$ à partir de $9 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x (x^{2} - 16)} \cdot \frac{3 x (3 x)}{x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{3 x (x^{2} - 16)} \cdot \frac{3 x (3 x)}{x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 16} \cdot \frac{3 x}{x^{2} + 4 x + 4}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 16}$ par $\frac{3 x}{x^{2} + 4 x + 4}$ .

$\frac{(x^{3} - 2 x^{2} - 8 x) (3 x)}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 2 x^{2} - 8 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{(x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 8 x) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{(x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 8 x) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{(x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 8) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Étape 3.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{(x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Étape 3.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x - 8) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} - 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 2$ .

$- 4, 2$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x ((x - 4) (x + 2)) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

$\frac{x (x - 4) (x + 2) \cdot 3 x}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Étape 3.3

Associez les exposants.

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Étape 3.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Étape 3.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} x^{1} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Étape 3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{1 + 1} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Étape 3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x^{2} - 16) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 4 x + 4)}$

Étape 4.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 4 x + 2^{2})}$

Étape 4.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 4.3.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}$

Étape 4.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x + 4) (x - 4) {(x + 2)}^{2}}$

Étape 5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x - 4) (x + 2) \cdot 3}{(x + 4) (x - 4) {(x + 2)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2} (x + 2)) \cdot 3}{(x + 4) {(x + 2)}^{2}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $x + 2$ et ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x^{2} (x + 2)) \cdot 3$ .

$\frac{(x + 2) ((x^{2}) \cdot 3)}{(x + 4) {(x + 2)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 4) {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2) ((x^{2}) \cdot 3)}{(x + 2) ((x + 4) (x + 2))}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) ((x^{2}) \cdot 3)}{(x + 2) ((x + 4) (x + 2))}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x^{2}) \cdot 3}{(x + 4) (x + 2)}$

Étape 5.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{(x + 4) (x + 2)}$