Ensembles finis Exemples

$\frac{{(2 n^{6} r^{7})}^{2} {(8 n^{6} r)}^{- 2}}{{(- 3 n r^{9})}^{- 1} {(2 n^{3} r^{9})}^{3}}$

Étape 1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1

Placez ${(8 n^{6} r)}^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(2 n^{6} r^{7})}^{2}}{{(- 3 n r^{9})}^{- 1} {(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 1.2

Placez ${(- 3 n r^{9})}^{- 1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{{(2 n^{6} r^{7})}^{2} (- 3 n r^{9})}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $2 n^{6} r^{7}$ .

$\frac{{(2 n^{6})}^{2} {(r^{7})}^{2} \cdot - 3 n r^{9}}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de produit à $2 n^{6}$ .

$\frac{2^{2} {(n^{6})}^{2} {(r^{7})}^{2} \cdot - 3 n r^{9}}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 {(n^{6})}^{2} {(r^{7})}^{2} \cdot - 3 n r^{9}}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez les exposants dans ${(n^{6})}^{2}$ .

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 n^{6 \cdot 2} {(r^{7})}^{2} \cdot - 3 n r^{9}}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{4 n^{12} {(r^{7})}^{2} \cdot - 3 n r^{9}}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2.5

Multipliez les exposants dans ${(r^{7})}^{2}$ .

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 n^{12} r^{7 \cdot 2} \cdot - 3 n r^{9}}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{4 n^{12} r^{14} \cdot - 3 n r^{9}}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2.6

Associez les exposants.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{- 12 n^{12} r^{14} n r^{9}}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 12 (n^{1} n^{12}) r^{14} r^{9}}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 12 n^{1 + 12} r^{14} r^{9}}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2.6.4

Additionnez $1$ et $12$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{14} r^{9}}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2.6.5

Multipliez $r^{14}$ par $r^{9}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.5.1

Déplacez $r^{9}$ .

$\frac{- 12 n^{13} (r^{9} r^{14})}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2.6.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 12 n^{13} r^{9 + 14}}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 2.6.5.3

Additionnez $9$ et $14$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{{(2 n^{3} r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $2 n^{3} r^{9}$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{{(2 n^{3})}^{3} {(r^{9})}^{3} {(8 n^{6} r)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la règle de produit à $8 n^{6} r$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{{(2 n^{3})}^{3} {(r^{9})}^{3} {(8 n^{6})}^{2} r^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $2 n^{3}$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{2^{3} {(n^{3})}^{3} {(r^{9})}^{3} {(8 n^{6})}^{2} r^{2}}$

Étape 3.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{8 {(n^{3})}^{3} {(r^{9})}^{3} {(8 n^{6})}^{2} r^{2}}$

Étape 3.5

Multipliez les exposants dans ${(n^{3})}^{3}$ .

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Étape 3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{8 n^{3 \cdot 3} {(r^{9})}^{3} {(8 n^{6})}^{2} r^{2}}$

Étape 3.5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{8 n^{9} {(r^{9})}^{3} {(8 n^{6})}^{2} r^{2}}$

Étape 3.6

Multipliez les exposants dans ${(r^{9})}^{3}$ .

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Étape 3.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{8 n^{9} r^{9 \cdot 3} {(8 n^{6})}^{2} r^{2}}$

Étape 3.6.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{8 n^{9} r^{27} {(8 n^{6})}^{2} r^{2}}$

Étape 3.7

Appliquez la règle de produit à $8 n^{6}$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{8 n^{9} r^{27} (8^{2} {(n^{6})}^{2}) r^{2}}$

Étape 3.8

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{8 n^{9} r^{27} (64 {(n^{6})}^{2}) r^{2}}$

Étape 3.9

Multipliez les exposants dans ${(n^{6})}^{2}$ .

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Étape 3.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{8 n^{9} r^{27} (64 n^{6 \cdot 2}) r^{2}}$

Étape 3.9.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{8 n^{9} r^{27} (64 n^{12}) r^{2}}$

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{8 n^{9} r^{27} \cdot 64 n^{12} r^{2}}$

Étape 3.10

Associez les exposants.

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Étape 3.10.1

Multipliez $64$ par $8$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{512 n^{9} r^{27} n^{12} r^{2}}$

Étape 3.10.2

Multipliez $n^{9}$ par $n^{12}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.2.1

Déplacez $n^{12}$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{512 (n^{12} n^{9}) r^{27} r^{2}}$

Étape 3.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{512 n^{12 + 9} r^{27} r^{2}}$

Étape 3.10.2.3

Additionnez $12$ et $9$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{512 n^{21} r^{27} r^{2}}$

Étape 3.10.3

Multipliez $r^{27}$ par $r^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.3.1

Déplacez $r^{2}$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{512 n^{21} (r^{2} r^{27})}$

Étape 3.10.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{512 n^{21} r^{2 + 27}}$

Étape 3.10.3.3

Additionnez $2$ et $27$ .

$\frac{- 12 n^{13} r^{23}}{512 n^{21} r^{29}}$

Étape 4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $512$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12 n^{13} r^{23}$ .

$\frac{4 (- 3 n^{13} r^{23})}{512 n^{21} r^{29}}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $512 n^{21} r^{29}$ .

$\frac{4 (- 3 n^{13} r^{23})}{4 (128 n^{21} r^{29})}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- 3 n^{13} r^{23})}{4 (128 n^{21} r^{29})}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 n^{13} r^{23}}{128 n^{21} r^{29}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $n^{13}$ et $n^{21}$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $n^{13}$ à partir de $- 3 n^{13} r^{23}$ .

$\frac{n^{13} (- 3 r^{23})}{128 n^{21} r^{29}}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $n^{13}$ à partir de $128 n^{21} r^{29}$ .

$\frac{n^{13} (- 3 r^{23})}{n^{13} (128 n^{8} r^{29})}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{n^{13} (- 3 r^{23})}{n^{13} (128 n^{8} r^{29})}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 r^{23}}{128 n^{8} r^{29}}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun à $r^{23}$ et $r^{29}$ .

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Étape 4.3.1

Factorisez $r^{23}$ à partir de $- 3 r^{23}$ .

$\frac{r^{23} \cdot - 3}{128 n^{8} r^{29}}$

Étape 4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $r^{23}$ à partir de $128 n^{8} r^{29}$ .

$\frac{r^{23} \cdot - 3}{r^{23} (128 n^{8} r^{6})}$

Étape 4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{r^{23} \cdot - 3}{r^{23} (128 n^{8} r^{6})}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{128 n^{8} r^{6}}$

Étape 4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{128 n^{8} r^{6}}$