Ensembles finis Exemples

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + i)}^{2}$ comme $(1 + i) (1 + i)$ .

$\frac{(1 + i) (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.2

Développez $(1 + i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 + i) + i (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{1 + i + i \cdot 1 + i i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{1 + i + i + i i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $i i$ .

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Étape 1.3.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{1} i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{1} i^{1}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + i + i + i^{1 + 1}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1 + i + i - 1}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + i + i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.3.3

Additionnez $0$ et $i$ .

$\frac{i + i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.3.4

Additionnez $i$ et $i$ .

$\frac{2 i}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.4

Réécrivez ${(1 - i)}^{2}$ comme $(1 - i) (1 - i)$ .

$\frac{2 i}{(1 - i) (1 - i)} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.5

Développez $(1 - i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i}{1 (1 - i) - i (1 - i)} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) - i (1 - i)} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $- i$ par $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i \cdot 1 - i (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i - i (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $- i (- i)$ .

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Étape 1.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 i i} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.6.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 (i^{1} i)} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.6.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 (i^{1} i^{1})} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 i^{1 + 1}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + 1 i^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.6.1.4.6

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i + i^{2}} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.6.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 - i - i - 1} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 i}{0 - i - i} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.6.3

Soustrayez $i$ de $0$ .

$\frac{2 i}{- i - i} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.6.4

Soustrayez $i$ de $- i$ .

$\frac{2 i}{- 2 i} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 2$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 i$ .

$\frac{2 (i)}{- 2 i} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 i$ .

$\frac{2 (i)}{2 (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 i}{2 (- i)} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{i}{- i} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.8

Annulez le facteur commun de $i$ .

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Étape 1.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{i}{- i} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 1} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.8.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{2}{x + i y}$

Étape 1.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{2}{x + i y}$

Étape 2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + i y}{x + i y}$ .

$- 1 \cdot \frac{x + i y}{x + i y} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez $- 1$ et $\frac{x + i y}{x + i y}$ .

$\frac{- (x + i y)}{x + i y} + \frac{2}{x + i y}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (x + i y) + 2}{x + i y}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x - i y + 2}{x + i y}$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- (x) - i y + 2}{x + i y}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- i y$ .

$\frac{- (x) - (i y) + 2}{x + i y}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (i y)$ .

$\frac{- (x + i y) + 2}{x + i y}$

Étape 5.4

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + i y) - 1 (- 2)}{x + i y}$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x + i y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + i y - 2)}{x + i y}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.6.1

Réécrivez $- (x + i y - 2)$ comme $- 1 (x + i y - 2)$ .

$\frac{- 1 (x + i y - 2)}{x + i y}$

Étape 5.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x + i y - 2}{x + i y}$

Étape 6

Divisez la fraction $\frac{x + i y - 2}{x + i y}$ en deux fractions.

$- (\frac{x + i y}{x + i y} + \frac{- 2}{x + i y})$

Étape 7

Divisez la fraction $\frac{x + i y}{x + i y}$ en deux fractions.

$- (\frac{x}{x + i y} + \frac{i y}{x + i y} + \frac{- 2}{x + i y})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- (\frac{x}{x + i y} + \frac{i y}{x + i y} - \frac{2}{x + i y})$