Ensembles finis Exemples

${(5 (\cos (15) + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (15)$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

${(5 (\cos (45 - 30) + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.1.2

Séparez la négation.

${(5 (\cos (45 - (30)) + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

${(5 (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.1.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.1.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(5 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.1.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (15)))}^{3}$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.2.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - 30)))}^{3}$

Étape 1.2.2

Séparez la négation.

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - (30))))}^{3}$

Étape 1.2.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

Étape 1.2.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

Étape 1.2.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

Étape 1.2.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))))}^{3}$

Étape 1.2.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Étape 1.2.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Étape 1.2.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Étape 1.2.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Étape 1.2.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Étape 1.2.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})))}^{3}$

Étape 1.2.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})))}^{3}$

Étape 1.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}))}^{3}$

Étape 1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}))}^{3}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(5 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4})}^{3}$

Étape 2.2

Associez $5$ et $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4}$ .

${(\frac{5 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4})}^{3}$

Étape 3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$ .

$\frac{{(5 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}))}^{3}}{4^{3}}$

Étape 3.2

Appliquez la règle de produit à $5 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})$ .

$\frac{5^{3} {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{4^{3}}$

Étape 4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{125 {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{4^{3}}$

Étape 5

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{125 {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{64}$