Ensembles finis Exemples

$\frac{5 a}{a - 2 b} - \frac{a}{a + 2 b} - \frac{4 a b}{a^{2} - 4 b^{2}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4 b^{2}$ comme ${(2 b)}^{2}$ .

$\frac{5 a}{a - 2 b} - \frac{a}{a + 2 b} - \frac{4 a b}{a^{2} - {(2 b)}^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 2 b$ .

$\frac{5 a}{a - 2 b} - \frac{a}{a + 2 b} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - (2 b))}$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{5 a}{a - 2 b} - \frac{a}{a + 2 b} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{5 a}{a - 2 b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 2 b}{a + 2 b}$ .

$\frac{5 a}{a - 2 b} \cdot \frac{a + 2 b}{a + 2 b} - \frac{a}{a + 2 b} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{a}{a + 2 b}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a - 2 b}{a - 2 b}$ .

$\frac{5 a}{a - 2 b} \cdot \frac{a + 2 b}{a + 2 b} - \frac{a}{a + 2 b} \cdot \frac{a - 2 b}{a - 2 b} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a - 2 b) (a + 2 b)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{5 a}{a - 2 b}$ par $\frac{a + 2 b}{a + 2 b}$ .

$\frac{5 a (a + 2 b)}{(a - 2 b) (a + 2 b)} - \frac{a}{a + 2 b} \cdot \frac{a - 2 b}{a - 2 b} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{a}{a + 2 b}$ par $\frac{a - 2 b}{a - 2 b}$ .

$\frac{5 a (a + 2 b)}{(a - 2 b) (a + 2 b)} - \frac{a (a - 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(a - 2 b) (a + 2 b)$ .

$\frac{5 a (a + 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)} - \frac{a (a - 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 a (a + 2 b) - a (a - 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)} - \frac{4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 a (a + 2 b) - a (a - 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a \cdot a + 5 a (2 b) - a (a - 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 7.1.2

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.2.1

Déplacez $a$ .

$\frac{5 (a \cdot a) + 5 a (2 b) - a (a - 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{5 a^{2} + 5 a (2 b) - a (a - 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 7.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 a^{2} + 5 \cdot 2 a b - a (a - 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 7.1.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - a (a - 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 7.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - a \cdot a - a (- 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 7.1.6

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.6.1

Déplacez $a$ .

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - (a \cdot a) - a (- 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 7.1.6.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - a^{2} - a (- 2 b) - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 7.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - a^{2} - 1 \cdot - 2 a b - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 7.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{5 a^{2} + 10 a b - a^{2} + 2 a b - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 7.2

Soustrayez $a^{2}$ de $5 a^{2}$ .

$\frac{4 a^{2} + 10 a b + 2 a b - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 7.3

Additionnez $10 a b$ et $2 a b$ .

$\frac{4 a^{2} + 12 a b - 4 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 7.4

Soustrayez $4 a b$ de $12 a b$ .

$\frac{4 a^{2} + 8 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 8

Factorisez $4 a$ à partir de $4 a^{2} + 8 a b$ .

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Étape 8.1

Factorisez $4 a$ à partir de $4 a^{2}$ .

$\frac{4 a (a) + 8 a b}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 8.2

Factorisez $4 a$ à partir de $8 a b$ .

$\frac{4 a (a) + 4 a (2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 8.3

Factorisez $4 a$ à partir de $4 a (a) + 4 a (2 b)$ .

$\frac{4 a (a + 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $a + 2 b$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 a (a + 2 b)}{(a + 2 b) (a - 2 b)}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 a}{a - 2 b}$