Ensembles finis Exemples

$(z - 4 (\cos (\frac{π}{5}) + i \sin (\frac{π}{5}))) (z - 4 (\cos (\frac{π}{5}) + i \sin (\frac{π}{5})))$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(z - 4 \cos (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5})) (z - 4 (\cos (\frac{π}{5}) + i \sin (\frac{π}{5})))$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(z - 4 \cos (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5})) (z - 4 \cos (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Étape 2

Développez $(z - 4 \cos (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5})) (z - 4 \cos (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}))$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$z \cdot z + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $z$ par $z$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5}))$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Étape 3.1.2.2

Élevez $\cos (\frac{π}{5})$ à la puissance $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 (\cos^{1} (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Étape 3.1.2.3

Élevez $\cos (\frac{π}{5})$ à la puissance $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 (\cos^{1} (\frac{π}{5}) \cos^{1} (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Étape 3.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 {\cos (\frac{π}{5})}^{1 + 1} - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Étape 3.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) - 4 \cos (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Étape 3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) (i \sin (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 \cos (\frac{π}{5})) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 4 i \sin (\frac{π}{5}) (- 4 i \sin (\frac{π}{5}))$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 i \sin (\frac{π}{5}) (i \sin (\frac{π}{5}))$

Étape 3.1.5.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 (i^{1} i) \sin (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$

Étape 3.1.5.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 (i^{1} i^{1}) \sin (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$

Étape 3.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 i^{1 + 1} \sin (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$

Étape 3.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 i^{2} \sin (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$

Étape 3.1.5.6

Élevez $\sin (\frac{π}{5})$ à la puissance $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 i^{2} (\sin^{1} (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5}))$

Étape 3.1.5.7

Élevez $\sin (\frac{π}{5})$ à la puissance $1$ .

$z^{2} + z (- 4 \cos (\frac{π}{5})) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) - 4 \cos (\frac{π}{5}) z + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) + 16 i^{2} (\sin^{1} (\frac{π}{5}) \sin^{1} (\frac{π}{5}))$

Étape 3.1.5.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 3.1.5.9

Additionnez $1$ et $1$ .

Étape 3.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

Étape 3.1.7

Multipliez $16$ par $- 1$ .

Étape 3.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 3.2.1

Déplacez $\cos (\frac{π}{5})$ .

$z^{2} - 4 \cdot z \cos (\frac{π}{5}) - 4 z \cos (\frac{π}{5}) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$

Étape 3.2.2

Soustrayez $4 z \cos (\frac{π}{5})$ de $- 4 z \cos (\frac{π}{5})$ .

$z^{2} - 8 z \cos (\frac{π}{5}) + z (- 4 i \sin (\frac{π}{5})) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) - 4 i \sin (\frac{π}{5}) z + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$

Étape 3.2.3

Déplacez $i$ .

$z^{2} - 8 z \cos (\frac{π}{5}) - 4 \cdot z i \sin (\frac{π}{5}) - 4 z i \sin (\frac{π}{5}) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$

Étape 3.2.4

Soustrayez $4 z i \sin (\frac{π}{5})$ de $- 4 z i \sin (\frac{π}{5})$ .

$z^{2} - 8 z \cos (\frac{π}{5}) - 8 z i \sin (\frac{π}{5}) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) + 16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$

Étape 3.2.5

Réorganisez les facteurs de $16 i \sin (\frac{π}{5}) \cos (\frac{π}{5})$ .

$z^{2} - 8 z \cos (\frac{π}{5}) - 8 z i \sin (\frac{π}{5}) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5}) + 16 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$

Étape 4

Additionnez $16 \cos (\frac{π}{5}) i \sin (\frac{π}{5})$ et $16 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$ .

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Étape 4.1

Déplacez $\cos (\frac{π}{5})$ .

$z^{2} - 8 z \cos (\frac{π}{5}) - 8 z i \sin (\frac{π}{5}) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 16 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5}) + 16 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$

Étape 4.2

Additionnez $16 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$ et $16 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5})$ .

$z^{2} - 8 z \cos (\frac{π}{5}) - 8 z i \sin (\frac{π}{5}) + 16 \cos^{2} (\frac{π}{5}) + 32 i \cos (\frac{π}{5}) \sin (\frac{π}{5}) - 16 \sin^{2} (\frac{π}{5})$