Ensembles finis Exemples

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a}{a - 3} + \frac{12 a^{2} - 9 a}{27 - a^{3}} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Factorisez $3 a$ à partir de $12 a^{2} - 9 a$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $3 a$ à partir de $12 a^{2}$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a}{a - 3} + \frac{3 a (4 a) - 9 a}{27 - a^{3}} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.1.1.2

Factorisez $3 a$ à partir de $- 9 a$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a}{a - 3} + \frac{3 a (4 a) + 3 a (- 3)}{27 - a^{3}} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.1.1.3

Factorisez $3 a$ à partir de $3 a (4 a) + 3 a (- 3)$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a}{a - 3} + \frac{3 a (4 a - 3)}{27 - a^{3}} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.2.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a}{a - 3} + \frac{3 a (4 a - 3)}{3^{3} - a^{3}} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.1.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 3$ et $b = a$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a}{a - 3} + \frac{3 a (4 a - 3)}{(3 - a) (3^{2} + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.1.2.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a}{a - 3} + \frac{3 a (4 a - 3)}{(3 - a) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.2

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a}{a - 3} + \frac{3 a (4 a - 3)}{(- 1 (- 3) - a) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a}{a - 3} + \frac{3 a (4 a - 3)}{(- 1 (- 3) - (a)) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 3) - (a)$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a}{a - 3} + \frac{3 a (4 a - 3)}{- 1 (- 3 + a) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.5

Faites passer un signe négatif du dénominateur de $\frac{3 a (4 a - 3)}{- 1 (- 3 + a) (9 + 3 a + a^{2})}$ au numérateur.

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a}{a - 3} + \frac{- (3 a (4 a - 3))}{(- 3 + a) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a}{a - 3} + \frac{- (3 a (4 a - 3))}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.7

Pour écrire $\frac{a}{a - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9 + 3 a + a^{2}}{9 + 3 a + a^{2}}$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a}{a - 3} \cdot \frac{9 + 3 a + a^{2}}{9 + 3 a + a^{2}} + \frac{- (3 a (4 a - 3))}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.8

Multipliez $\frac{a}{a - 3}$ par $\frac{9 + 3 a + a^{2}}{9 + 3 a + a^{2}}$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (9 + 3 a + a^{2})}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{- (3 a (4 a - 3))}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (9 + 3 a + a^{2}) - (3 a (4 a - 3))}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.10.1.1

Factorisez $a$ à partir de $a (9 + 3 a + a^{2}) - 1 \cdot 3 a (4 a - 3)$ .

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Étape 1.10.1.1.1

Factorisez $a$ à partir de $- 1 \cdot 3 a (4 a - 3)$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (9 + 3 a + a^{2}) + a (- 1 \cdot 3 (4 a - 3))}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.10.1.1.2

Factorisez $a$ à partir de $a (9 + 3 a + a^{2}) + a (- 1 \cdot 3 (4 a - 3))$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (9 + 3 a + a^{2} - 1 \cdot 3 (4 a - 3))}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.10.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (9 + 3 a + a^{2} - 3 (4 a - 3))}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (9 + 3 a + a^{2} - 3 (4 a) - 3 \cdot - 3)}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.10.1.4

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (9 + 3 a + a^{2} - 12 a - 3 \cdot - 3)}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.10.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (9 + 3 a + a^{2} - 12 a + 9)}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.10.1.6

Additionnez $9$ et $9$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (3 a + a^{2} - 12 a + 18)}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.10.1.7

Soustrayez $12 a$ de $3 a$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (a^{2} - 9 a + 18)}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.10.1.8

Factorisez $a^{2} - 9 a + 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.10.1.8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $18$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 6, - 3$

Étape 1.10.1.8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a ((a - 6) (a - 3))}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (a - 6) (a - 3)}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.10.2

Annulez le facteur commun de $a - 3$ .

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Étape 1.10.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (a - 6) (a - 3)}{(a - 3) (9 + 3 a + a^{2})} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.10.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (a - 6)}{9 + 3 a + a^{2}} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 (\frac{a (a - 6)}{a^{2} + 3 a + 9} + \frac{9}{a^{2} + 3 a + 9})$

Étape 1.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 \frac{a (a - 6) + 9}{a^{2} + 3 a + 9}$

Étape 1.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 \frac{a \cdot a + a \cdot - 6 + 9}{a^{2} + 3 a + 9}$

Étape 1.13.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 \frac{a^{2} + a \cdot - 6 + 9}{a^{2} + 3 a + 9}$

Étape 1.13.3

Déplacez $- 6$ à gauche de $a$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 \frac{a^{2} - 6 \cdot a + 9}{a^{2} + 3 a + 9}$

Étape 1.13.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.13.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 \frac{a^{2} - 6 a + 3^{2}}{a^{2} + 3 a + 9}$

Étape 1.13.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 a = 2 \cdot a \cdot 3$

Étape 1.13.4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 \frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^{2}}{a^{2} + 3 a + 9}$

Étape 1.13.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = 3$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - 1 \frac{{(a - 3)}^{2}}{a^{2} + 3 a + 9}$

Étape 1.14

Réécrivez $- 1 \frac{{(a - 3)}^{2}}{a^{2} + 3 a + 9}$ comme $- \frac{{(a - 3)}^{2}}{a^{2} + 3 a + 9}$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} - \frac{{(a - 3)}^{2}}{a^{2} + 3 a + 9}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a^{2} + 3 a + 9}{a^{2} + 3 a + 9}$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 3 a + 9}{a^{2} + 3 a + 9} - \frac{{(a - 3)}^{2}}{a^{2} + 3 a + 9}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{{(a - 3)}^{2}}{a^{2} + 3 a + 9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2}}$ .

$\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 3 a + 9}{a^{2} + 3 a + 9} - \frac{{(a - 3)}^{2}}{a^{2} + 3 a + 9} \cdot \frac{{(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2}}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a^{2} + 3 a + 9) {(3 - a)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2}}$ par $\frac{a^{2} + 3 a + 9}{a^{2} + 3 a + 9}$ .

$\frac{9 a^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)} - \frac{{(a - 3)}^{2}}{a^{2} + 3 a + 9} \cdot \frac{{(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{{(a - 3)}^{2}}{a^{2} + 3 a + 9}$ par $\frac{{(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2}}$ .

$\frac{9 a^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)} - \frac{{(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{(a^{2} + 3 a + 9) {(3 - a)}^{2}}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(a^{2} + 3 a + 9) {(3 - a)}^{2}$ .

$\frac{9 a^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)} - \frac{{(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9 a^{2} (a^{2} + 3 a + 9) - {(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 a^{2} a^{2} + 9 a^{2} (3 a) + 9 a^{2} \cdot 9 - {(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Multipliez $a^{2}$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1.1

Déplacez $a^{2}$ .

$\frac{9 (a^{2} a^{2}) + 9 a^{2} (3 a) + 9 a^{2} \cdot 9 - {(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 a^{2 + 2} + 9 a^{2} (3 a) + 9 a^{2} \cdot 9 - {(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.2.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{9 a^{4} + 9 a^{2} (3 a) + 9 a^{2} \cdot 9 - {(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 a^{4} + 9 \cdot 3 a^{2} a + 9 a^{2} \cdot 9 - {(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.2.3

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{9 a^{4} + 9 \cdot 3 a^{2} a + 81 a^{2} - {(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Multipliez $a^{2}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1.1

Déplacez $a$ .

$\frac{9 a^{4} + 9 \cdot 3 (a \cdot a^{2}) + 81 a^{2} - {(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez $a$ par $a^{2}$ .

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Étape 6.3.1.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 a^{4} + 9 \cdot 3 (a^{1} a^{2}) + 81 a^{2} - {(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 a^{4} + 9 \cdot 3 a^{1 + 2} + 81 a^{2} - {(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.3.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{9 a^{4} + 9 \cdot 3 a^{3} + 81 a^{2} - {(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - {(a - 3)}^{2} {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.4

Réécrivez ${(a - 3)}^{2}$ comme $(a - 3) (a - 3)$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - ((a - 3) (a - 3)) {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.5

Développez $(a - 3) (a - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - (a (a - 3) - 3 (a - 3)) {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - (a \cdot a + a \cdot - 3 - 3 (a - 3)) {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - (a \cdot a + a \cdot - 3 - 3 a - 3 \cdot - 3) {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - (a^{2} + a \cdot - 3 - 3 a - 3 \cdot - 3) {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.6.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $a$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - (a^{2} - 3 \cdot a - 3 a - 3 \cdot - 3) {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.6.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - (a^{2} - 3 a - 3 a + 9) {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.6.2

Soustrayez $3 a$ de $- 3 a$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - (a^{2} - 6 a + 9) {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} - (- 6 a) - 1 \cdot 9) {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.8

Simplifiez

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Étape 6.8.1

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 1 \cdot 9) {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.8.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) {(3 - a)}^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.9

Réécrivez ${(3 - a)}^{2}$ comme $(3 - a) (3 - a)$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) ((3 - a) (3 - a))}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.10

Développez $(3 - a) (3 - a)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) (3 (3 - a) - a (3 - a))}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) (3 \cdot 3 + 3 (- a) - a (3 - a))}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) (3 \cdot 3 + 3 (- a) - a \cdot 3 - a (- a))}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.11.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) (9 + 3 (- a) - a \cdot 3 - a (- a))}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.11.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) (9 - 3 a - a \cdot 3 - a (- a))}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.11.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) (9 - 3 a - 3 a - a (- a))}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.11.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) (9 - 3 a - 3 a - 1 \cdot - 1 a \cdot a)}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.11.1.5

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.11.1.5.1

Déplacez $a$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) (9 - 3 a - 3 a - 1 \cdot - 1 (a \cdot a))}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.11.1.5.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) (9 - 3 a - 3 a - 1 \cdot - 1 a^{2})}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.11.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) (9 - 3 a - 3 a + 1 a^{2})}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.11.1.7

Multipliez $a^{2}$ par $1$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) (9 - 3 a - 3 a + a^{2})}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.11.2

Soustrayez $3 a$ de $- 3 a$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + (- a^{2} + 6 a - 9) (9 - 6 a + a^{2})}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.12

Développez $(- a^{2} + 6 a - 9) (9 - 6 a + a^{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - a^{2} \cdot 9 - a^{2} (- 6 a) - a^{2} a^{2} + 6 a \cdot 9 + 6 a (- 6 a) + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.13.1

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} - a^{2} (- 6 a) - a^{2} a^{2} + 6 a \cdot 9 + 6 a (- 6 a) + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} - 1 \cdot - 6 a^{2} a - a^{2} a^{2} + 6 a \cdot 9 + 6 a (- 6 a) + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.3

Multipliez $a^{2}$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.13.3.1

Déplacez $a$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} - 1 \cdot - 6 (a \cdot a^{2}) - a^{2} a^{2} + 6 a \cdot 9 + 6 a (- 6 a) + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.3.2

Multipliez $a$ par $a^{2}$ .

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Étape 6.13.3.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} - 1 \cdot - 6 (a^{1} a^{2}) - a^{2} a^{2} + 6 a \cdot 9 + 6 a (- 6 a) + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} - 1 \cdot - 6 a^{1 + 2} - a^{2} a^{2} + 6 a \cdot 9 + 6 a (- 6 a) + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} - 1 \cdot - 6 a^{3} - a^{2} a^{2} + 6 a \cdot 9 + 6 a (- 6 a) + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.4

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{2} a^{2} + 6 a \cdot 9 + 6 a (- 6 a) + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.5

Multipliez $a^{2}$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.13.5.1

Déplacez $a^{2}$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - (a^{2} a^{2}) + 6 a \cdot 9 + 6 a (- 6 a) + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{2 + 2} + 6 a \cdot 9 + 6 a (- 6 a) + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{4} + 6 a \cdot 9 + 6 a (- 6 a) + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.6

Multipliez $9$ par $6$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{4} + 54 a + 6 a (- 6 a) + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{4} + 54 a + 6 \cdot - 6 a \cdot a + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.8

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.13.8.1

Déplacez $a$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{4} + 54 a + 6 \cdot - 6 (a \cdot a) + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.8.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{4} + 54 a + 6 \cdot - 6 a^{2} + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.9

Multipliez $6$ par $- 6$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{4} + 54 a - 36 a^{2} + 6 a \cdot a^{2} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.10

Multipliez $a$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.13.10.1

Déplacez $a^{2}$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{4} + 54 a - 36 a^{2} + 6 (a^{2} a) - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.10.2

Multipliez $a^{2}$ par $a$ .

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Étape 6.13.10.2.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{4} + 54 a - 36 a^{2} + 6 (a^{2} a^{1}) - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{4} + 54 a - 36 a^{2} + 6 a^{2 + 1} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{4} + 54 a - 36 a^{2} + 6 a^{3} - 9 \cdot 9 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.11

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{4} + 54 a - 36 a^{2} + 6 a^{3} - 81 - 9 (- 6 a) - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.13.12

Multipliez $- 6$ par $- 9$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} - 9 a^{2} + 6 a^{3} - a^{4} + 54 a - 36 a^{2} + 6 a^{3} - 81 + 54 a - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.14

Soustrayez $36 a^{2}$ de $- 9 a^{2}$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + 6 a^{3} - a^{4} + 54 a - 45 a^{2} + 6 a^{3} - 81 + 54 a - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.15

Additionnez $6 a^{3}$ et $6 a^{3}$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + 12 a^{3} - a^{4} + 54 a - 45 a^{2} - 81 + 54 a - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.16

Additionnez $54 a$ et $54 a$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + 12 a^{3} - a^{4} + 108 a - 45 a^{2} - 81 - 9 a^{2}}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.17

Soustrayez $9 a^{2}$ de $- 45 a^{2}$ .

$\frac{9 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + 12 a^{3} - a^{4} + 108 a - 54 a^{2} - 81}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.18

Soustrayez $a^{4}$ de $9 a^{4}$ .

$\frac{8 a^{4} + 27 a^{3} + 81 a^{2} + 12 a^{3} + 108 a - 54 a^{2} - 81}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.19

Additionnez $27 a^{3}$ et $12 a^{3}$ .

$\frac{8 a^{4} + 39 a^{3} + 81 a^{2} + 108 a - 54 a^{2} - 81}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$

Étape 6.20

Soustrayez $54 a^{2}$ de $81 a^{2}$ .

$\frac{8 a^{4} + 39 a^{3} + 27 a^{2} + 108 a - 81}{{(3 - a)}^{2} (a^{2} + 3 a + 9)}$