Ensembles finis Exemples

$\frac{8 x}{3 x^{2} + 19 x + 28} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 28 = 84$ et dont la somme est $b = 19$ .

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Étape 1.1.1.1

Factorisez $19$ à partir de $19 x$ .

$\frac{8 x}{3 x^{2} + 19 (x) + 28} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $19$ comme $7$ plus $12$

$\frac{8 x}{3 x^{2} + (7 + 12) x + 28} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x}{3 x^{2} + 7 x + 12 x + 28} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Étape 1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{8 x}{(3 x^{2} + 7 x) + 12 x + 28} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Étape 1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{8 x}{x (3 x + 7) + 4 (3 x + 7)} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Étape 1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 7$ .

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 x - 16}$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{3 x^{2} + 8 (x) - 16}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 4$ plus $12$

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{3 x^{2} + (- 4 + 12) x - 16}$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{3 x^{2} - 4 x + 12 x - 16}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{(3 x^{2} - 4 x) + 12 x - 16}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{x (3 x - 4) + 4 (3 x - 4)}$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 4$ .

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} - \frac{4 x}{(3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{4 x}{(3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 3

Pour écrire $- \frac{4 x}{(3 x - 4) (x + 4)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x + 7}{3 x + 7}$ .

$\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)} \cdot \frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{4 x}{(3 x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{3 x + 7}{3 x + 7}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(3 x + 7) (x + 4) (3 x - 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{8 x}{(3 x + 7) (x + 4)}$ par $\frac{3 x - 4}{3 x - 4}$ .

$\frac{8 x (3 x - 4)}{(3 x + 7) (x + 4) (3 x - 4)} - \frac{4 x}{(3 x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{3 x + 7}{3 x + 7}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{4 x}{(3 x - 4) (x + 4)}$ par $\frac{3 x + 7}{3 x + 7}$ .

$\frac{8 x (3 x - 4)}{(3 x + 7) (x + 4) (3 x - 4)} - \frac{4 x (3 x + 7)}{(3 x - 4) (x + 4) (3 x + 7)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(3 x + 7) (x + 4) (3 x - 4)$ .

$\frac{8 x (3 x - 4)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)} - \frac{4 x (3 x + 7)}{(3 x - 4) (x + 4) (3 x + 7)}$

Étape 4.4

Réorganisez les facteurs de $(3 x - 4) (x + 4) (3 x + 7)$ .

$\frac{8 x (3 x - 4)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)} - \frac{4 x (3 x + 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 x (3 x - 4) - 4 x (3 x + 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $4 x$ à partir de $8 x (3 x - 4) - 4 x (3 x + 7)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $8 x (3 x - 4)$ .

$\frac{4 x (2 (3 x - 4)) - 4 x (3 x + 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 4 x (3 x + 7)$ .

$\frac{4 x (2 (3 x - 4)) + 4 x (- (3 x + 7))}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (2 (3 x - 4)) + 4 x (- (3 x + 7))$ .

$\frac{4 x (2 (3 x - 4) - (3 x + 7))}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (2 (3 x) + 2 \cdot - 4 - (3 x + 7))}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{4 x (6 x + 2 \cdot - 4 - (3 x + 7))}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{4 x (6 x - 8 - (3 x + 7))}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (6 x - 8 - (3 x) - 1 \cdot 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{4 x (6 x - 8 - 3 x - 1 \cdot 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.7

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{4 x (6 x - 8 - 3 x - 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.8

Soustrayez $3 x$ de $6 x$ .

$\frac{4 x (3 x - 8 - 7)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.9

Soustrayez $7$ de $- 8$ .

$\frac{4 x (3 x - 15)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.10

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 15$ .

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Étape 6.10.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{4 x (3 (x) - 15)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.10.2

Factorisez $3$ à partir de $- 15$ .

$\frac{4 x (3 x + 3 \cdot - 5)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.10.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 5$ .

$\frac{4 x (3 (x - 5))}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

$\frac{4 x \cdot 3 (x - 5)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$

Étape 6.11

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12 x (x - 5)}{(3 x + 7) (3 x - 4) (x + 4)}$